(Dorf: P 2.2-2). Um componente é submetido a uma tensão v e uma corrente i. Os valores da corrente i e da tensão v correspondente são mostrados na tabela abaixo. Represente o componente por uma equação que expresse v em função de i. Essa equação é um modelo do componente. a) Mostre que o componente é linear, b) Use o modelo para prever o valor de v correspondente a uma corrente \mathrm{i}=40 \mathrm{~mA}. c) Use o modelo para prever o valor de i correspondente a uma tensão \mathrm{v}=3 \mathrm{~V}. Sugestão: Verifique se \Delta \mathrm{y} / \Delta \mathrm{x} é constante e se a função passa pela origem, caso afirmativo o componente é linear.
Resposta: a) O componente é linear; b) \mathrm{v}=4,8 \mathrm{mV}; c) \mathrm{i}=25 \mathrm{~A}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Mostrar se o componente é linear.
  • (b) Usar um modelo (equação) para prever a tensão v quando a corrente é \mathrm{i}=40\\ \mathrm{mA}.
  • (c) Usar o mesmo modelo para prever a corrente i quando a tensão é \mathrm{v}=3\\ \mathrm{V}.
Informações dadas (da tabela da figura):
  • Ponto 1: \mathrm{v}=-3,6\\ \mathrm{V}, \mathrm{i}=-30\\ \mathrm{A}.
  • Ponto 2: \mathrm{v}=2,4\\ \mathrm{V}, \mathrm{i}=20\\ \mathrm{A}.
  • Ponto 3: \mathrm{v}=6,0\\ \mathrm{V}, \mathrm{i}=50\\ \mathrm{A}.
Observação importante sobre unidades: as correntes na tabela estão em ampères ( \mathrm{A}). Quando for trabalhar com \mathrm{mA} será preciso converter para \mathrm{A}.

Passo 2

O que significa ser linear aqui e como verificar formalmente?
  • Uma relação linear entre v e i tem a forma geral \displaystyle v = k\,i + b, onde k é a constante de proporcionalidade (unidade \mathrm{V/A}, equivalente a \Omega) e b é uma constante (a interceptação em v quando i=0).
  • Se a relação for puramente proporcional (passa pela origem) então b=0 e temos \displaystyle v = k\,i.
  • Para verificar linearidade com dados discretos usamos dois testes práticos:
    1. Calcular a razão \Delta v/\Delta i entre pares de pontos; se essa razão for constante, indica uma mesma inclinação k.
    2. Verificar se o intercepto b é zero (por exemplo calcular b = v - k\,i a partir de um ponto e checar se dá zero).
Vou aplicar esses testes aos dados.

Passo 3

Calcular a inclinação (slope) \displaystyle k=\frac{\Delta v}{\Delta i} usando os dois intervalos:
\Delta v_{1-2}=2,4-(-3,6)=6,0\\ \mathrm{V},\qquad \Delta i_{1-2}=20-(-30)=50\\ \mathrm{A}.
\Rightarrow\quad k_{1-2}=\frac{\Delta v_{1-2}}{\Delta i_{1-2}}=\frac{6,0}{50}=0,12\\ \mathrm{V/A}.
Agora entre os pontos 2 e 3:
\Delta v_{2-3}=6,0-2,4=3,6\\ \mathrm{V},\qquad \Delta i_{2-3}=50-20=30\\ \mathrm{A}.
\Rightarrow\quad k_{2-3}=\frac{\Delta v_{2-3}}{\Delta i_{2-3}}=\frac{3,6}{30}=0,12\\ \mathrm{V/A}.
As duas razões deram o mesmo valor \displaystyle k=0,12\\ \mathrm{V/A}. Isso indica uma inclinação constante entre os pontos.

Passo 4

Verificar se a função passa pela origem (calcular b):
Escolhendo um ponto qualquer, por exemplo o ponto 2 ( \mathrm{v}=2,4\\ \mathrm{V}, \mathrm{i}=20\\ \mathrm{A}):
b = v - k\,i = 2,4 - 0,12\times 20 = 2,4 - 2,4 = 0.
Como b=0, a relação passa pela origem e a dependência é puramente proporcional.
Conclusão parcial: os testes mostram que a relação é da forma \displaystyle v = k\,i com \displaystyle k=0,12\\ \mathrm{V/A}. Portanto o componente é linear (proporcional).
Comentário didático curto: na prática de prova, sempre calcule \Delta y/\Delta x entre pares e verifique o intercepto; se ambos forem constantes/zero respectivamente, é linear e passa pela origem — aí o modelo é y=kx.

Passo 5

Escrever o modelo final (equação do componente):
\boxed{\;v = 0,12\,i\;},
onde v está em \mathrm{V} e i em \mathrm{A}. (Interpretação física: k=0,12\\ \mathrm{V/A}=0,12\\ \Omega.)

Passo 6

(b) Prever v quando \mathrm{i}=40\\ \mathrm{mA}.
Primeiro converter corrente para ampères:
40\\ \mathrm{mA}=40\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}=0,04\\ \mathrm{A}.
Usar o modelo \;v=0,12\,i\;:
v = 0,12\times 0,04 = 0,0048\\ \mathrm{V}.
Converter para unidades mais convenientes: 0,0048\\ \mathrm{V}=4,8\\ \mathrm{mV}.

Passo 7

(c) Prever i quando \mathrm{v}=3\\ \mathrm{V}.
Inverter a relação \;v=0,12\,i\; para obter i:
i=\frac{v}{0,12}.
Substituindo \;v=3\\ \mathrm{V}\;:
i=\frac{3}{0,12}=25\\ \mathrm{A}.

Resposta

a) O componente é linear.
b) v=4,8\\ \mathrm{mV}
c) i=25\\ \mathrm{A}

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