(Dorf: P 2.2-2). Um componente é submetido a uma tensão v e uma corrente i. Os valores da corrente
e da tensão
correspondente são mostrados na tabela abaixo. Represente o componente por uma equação que expresse v em função de i. Essa equação é um modelo do componente. a) Mostre que o componente é linear, b) Use o modelo para prever o valor de v correspondente a uma corrente
. c) Use o modelo para prever o valor de i correspondente a uma tensão
. Sugestão: Verifique se
é constante e se a função passa pela origem, caso afirmativo o componente é linear.
Resposta: a) O componente é linear; b)
; c)
Resposta: a) O componente é linear; b)
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar se o componente é linear.
- (b) Usar um modelo (equação) para prever a tensão
quando a corrente é . - (c) Usar o mesmo modelo para prever a corrente
quando a tensão é .
Informações dadas (da tabela da figura):
- Ponto 1:
, . - Ponto 2:
, . - Ponto 3:
, .
Observação importante sobre unidades: as correntes na tabela estão em ampères (
). Quando for trabalhar com
será preciso converter para
.
Passo 2
O que significa ser linear aqui e como verificar formalmente?
- Uma relação linear entre
e tem a forma geral , onde é a constante de proporcionalidade (unidade , equivalente a ) e é uma constante (a interceptação em quando ). - Se a relação for puramente proporcional (passa pela origem) então
e temos . - Para verificar linearidade com dados discretos usamos dois testes práticos:
- Calcular a razão
entre pares de pontos; se essa razão for constante, indica uma mesma inclinação . - Verificar se o intercepto
é zero (por exemplo calcular a partir de um ponto e checar se dá zero).
- Calcular a razão
Vou aplicar esses testes aos dados.
Passo 3
Calcular a inclinação (slope)
usando os dois intervalos:
Agora entre os pontos 2 e 3:
As duas razões deram o mesmo valor
. Isso indica uma inclinação constante entre os pontos.
Passo 4
Verificar se a função passa pela origem (calcular
):
Escolhendo um ponto qualquer, por exemplo o ponto 2 ( ,
):
Escolhendo um ponto qualquer, por exemplo o ponto 2 (
Como
, a relação passa pela origem e a dependência é puramente proporcional.
Conclusão parcial: os testes mostram que a relação é da forma
com
. Portanto o componente é linear (proporcional).
Comentário didático curto: na prática de prova, sempre calcule
entre pares e verifique o intercepto; se ambos forem constantes/zero respectivamente, é linear e passa pela origem — aí o modelo é
.
Passo 5
Escrever o modelo final (equação do componente):
onde
está em
e
em
. (Interpretação física:
.)
Passo 6
(b) Prever
quando
.
Primeiro converter corrente para ampères:
Usar o modelo
:
Converter para unidades mais convenientes:
.
Passo 7
(c) Prever
quando
.
Inverter a relação
para obter
:
Substituindo
:
Resposta
a) O componente é linear.
b)
c)
b)
c)