Duas barras do mesmo comprimento e mesmo material serão submetidas à ação de uma carga axial P de compressão. Uma das barras possui seção transversal circular com diâmetro a, e a outra com seção transversal com lado a.
Verificar qual das barras é a mais resistente ao regime de Euler.
OBS: as barras possuem o mesmo tipo de fixação.
Verificar qual das barras é a mais resistente ao regime de Euler.
OBS: as barras possuem o mesmo tipo de fixação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar qual das duas barras é mais resistente ao regime de Euler (flambagem). Informações dadas:
- As duas barras têm mesmo comprimento
(não dado numericamente) e são do mesmo material (mesmo módulo de Young ). - Ambas são submetidas a uma carga axial de compressão
. - Uma barra tem seção circular de diâmetro
. - A outra barra tem seção quadrada de lado
. - As barras possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades (logo o mesmo fator de comprimento efetivo
).
O que se pede: comparar a resistência à flambagem Euleriana das duas barras e dizer qual suporta maior carga crítica.
Passo 2
Apresento a fórmula de Euler para a carga crítica de flambagem. Esta fórmula dá a carga máxima que uma coluna perfeitamente reto e elástica pode suportar antes de flambear (para o caso idealizado de material linear-elástico, pequenas deformações e carregamento centrado):
Explicando cada símbolo:
-
é a carga crítica de flambagem (o que queremos comparar). -
é o módulo de Young do material (mesmo para ambas). -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem (depende da forma da seção). -
é o comprimento da barra. -
é o coeficiente que representa as condições de apoio (mesmo para ambas, pelo enunciado).
Como, e são iguais para as duas barras, a comparação de reduz-se à comparação dos momentos de inércia das seções.
Passo 3
Portanto basta comparar
com
. Escrevo a proporção:
Se essa razão for maior que 1, a seção quadrada é mais resistente; se for menor que 1, a circular é mais resistente.
Passo 4
Cálculo do momento de inércia da seção circular. Seja
o raio da seção circular; temos
. O momento de inércia de um círculo sólido, em relação a um eixo que passa pelo centro (por exemplo o eixo
), é conhecida e pode ser obtida por integração. O resultado é:
Substituindo
obtemos
(Obs.: se quiser ver rapidamente a origem: usando coordenadas polares
.)
Passo 5
Cálculo do momento de inércia da seção quadrada. Para um retângulo de base
e altura
, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo à base é
No caso do quadrado com lado
(tomando o eixo de flambagem em qualquer direção ortogonal a um lado — ambos os eixos principais são iguais), basta colocar
e
:
Passo 6
Comparação dos momentos de inércia. Calculo a razão
Avaliação numérica aproximada:
Portanto
é cerca de
vezes
, e por conseguinte
é cerca de
vezes
.
Passo 7
Interpretação física e observação prática (curto): a seção quadrada com lado
tem maior momento de inércia que a seção circular de diâmetro
, logo é mais resistente à flambagem de Euler. Uma nota importante: a validade da fórmula de Euler exige que a coluna seja suficientemente esbelta (regime de flambagem elástica). Para ter uma ideia rápida, pode-se comparar os raios de giração
: para o círculo
e para o quadrado
; o quadrado tem raio de giração maior, o que reduz a esbeltez
e torna a flambagem menos provável. Mas, como o enunciado já pede a comparação no regime de Euler, a conclusão acima vale.
Resposta
A barra de seção quadrada (lado
) é mais resistente ao regime de Euler.
.