Duas barras do mesmo comprimento e mesmo material serão submetidas à ação de uma carga axial P de compressão. Uma das barras possui seção transversal circular com diâmetro a, e a outra com seção transversal com lado a.
Verificar qual das barras é a mais resistente ao regime de Euler.
OBS: as barras possuem o mesmo tipo de fixação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar qual das duas barras é mais resistente ao regime de Euler (flambagem). Informações dadas:
  • As duas barras têm mesmo comprimento L (não dado numericamente) e são do mesmo material (mesmo módulo de Young E).
  • Ambas são submetidas a uma carga axial de compressão P.
  • Uma barra tem seção circular de diâmetro a.
  • A outra barra tem seção quadrada de lado a.
  • As barras possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades (logo o mesmo fator de comprimento efetivo K).
    O que se pede: comparar a resistência à flambagem Euleriana das duas barras e dizer qual suporta maior carga crítica P_{cr}.

Passo 2

Apresento a fórmula de Euler para a carga crítica de flambagem. Esta fórmula dá a carga máxima que uma coluna perfeitamente reto e elástica pode suportar antes de flambear (para o caso idealizado de material linear-elástico, pequenas deformações e carregamento centrado):
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (o que queremos comparar).
  • E é o módulo de Young do material (mesmo para ambas).
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem (depende da forma da seção).
  • L é o comprimento da barra.
  • K é o coeficiente que representa as condições de apoio (mesmo para ambas, pelo enunciado).
    Como E, K e L são iguais para as duas barras, a comparação de P_{cr} reduz-se à comparação dos momentos de inércia I das seções.

Passo 3

Portanto basta comparar I_{\text{quadrada}} com I_{\text{circular}}. Escrevo a proporção:
\frac{P_{cr,\text{quadrada}}}{P_{cr,\text{circular}}}=\frac{I_{\text{quadrada}}}{I_{\text{circular}}}.
Se essa razão for maior que 1, a seção quadrada é mais resistente; se for menor que 1, a circular é mais resistente.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia da seção circular. Seja r o raio da seção circular; temos r=\dfrac{a}{2}. O momento de inércia de um círculo sólido, em relação a um eixo que passa pelo centro (por exemplo o eixo x), é conhecida e pode ser obtida por integração. O resultado é:
I_{\text{círculo}}=\frac{\pi r^{4}}{4}.í
Substituindo r=\dfrac{a}{2} obtemos
I_{\text{circular}}=\frac{\pi}{4}\left(\frac{a}{2}\right)^{4}=\frac{\pi a^{4}}{64}.
(Obs.: se quiser ver rapidamente a origem: usando coordenadas polares I_x=\int y^{2}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} (r\sin\theta)^{2} r\,dr\,d\theta = \pi r^{4}/4.)

Passo 5

Cálculo do momento de inércia da seção quadrada. Para um retângulo de base b e altura h, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo à base é
I=\frac{b h^{3}}{12}.
No caso do quadrado com lado a (tomando o eixo de flambagem em qualquer direção ortogonal a um lado — ambos os eixos principais são iguais), basta colocar b=a e h=a:
I_{\text{quadrada}}=\frac{a\cdot a^{3}}{12}=\frac{a^{4}}{12}.

Passo 6

Comparação dos momentos de inércia. Calculo a razão
\frac{I_{\text{quadrada}}}{I_{\text{circular}}} =\frac{\dfrac{a^{4}}{12}}{\dfrac{\pi a^{4}}{64}} =\frac{1/12}{\pi/64} =\frac{64}{12\pi} =\frac{16}{3\pi}.
Avaliação numérica aproximada:
\frac{16}{3\pi}\approx\frac{16}{9{,}4248}\approx 1{,}70.
Portanto I_{\text{quadrada}} é cerca de 1{,}70 vezes I_{\text{circular}}, e por conseguinte P_{cr,\text{quadrada}} é cerca de 1{,}70 vezes P_{cr,\text{circular}}.

Passo 7

Interpretação física e observação prática (curto): a seção quadrada com lado a tem maior momento de inércia que a seção circular de diâmetro a, logo é mais resistente à flambagem de Euler. Uma nota importante: a validade da fórmula de Euler exige que a coluna seja suficientemente esbelta (regime de flambagem elástica). Para ter uma ideia rápida, pode-se comparar os raios de giração r_{g}=\sqrt{I/A}: para o círculo r_{g,\text{circ}}=a/4 e para o quadrado r_{g,\text{quad}}=a/\sqrt{12}\approx0{,}289a; o quadrado tem raio de giração maior, o que reduz a esbeltez L/r_g e torna a flambagem menos provável. Mas, como o enunciado já pede a comparação no regime de Euler, a conclusão acima vale.

Resposta

A barra de seção quadrada (lado a) é mais resistente ao regime de Euler. \displaystyle \frac{P_{cr,\text{quadrada}}}{P_{cr,\text{circular}}}=\frac{16}{3\pi}\approx1{,}70.

Exercícios relacionados