QUESTÍO 06 - Numa corda tensionada, fixa nas duas pontas, uma certa onda estacionária vibrando no terceiro harmônico. tem a equaçāo: y^{\prime}(x, t)=0.024 \operatorname{sen}(24 \pi x) \cos (480 \pi t), com todas unidades no SI Determine:
(c) o comprimento de onda.

Passo 1

O enunciado dá a função (onda estacionária)
y'(x,t)=0{,}024\sin(24\pi x)\cos(480\pi t),
com todas as unidades no SI, e pede o comprimento de onda. Informações relevantes que temos:
  • a parte espacial da onda é \sin(24\pi x);
  • o argumento espacial é 24\pi x (daqui vem o número de onda);
  • queremos determinar o comprimento de onda \lambda.

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): para uma função de onda com dependência espacial do tipo \sin(kx) ou \cos(kx), o número de onda k está relacionado ao comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
O que isso diz na prática? O comprimento de onda \lambda é a distância em x para a qual a fase aumenta em 2\pi, porque
\sin\big(k(x+\lambda)\big)=\sin(kx+k\lambda)=\sin(kx+2\pi)=\sin(kx).
Então, se a parte espacial da nossa onda tem forma \sin(kx), basta identificar k e usar \lambda=2\pi/k.

Passo 3

Identificar o número de onda k a partir da parte espacial dada. Comparando
\sin(24\pi x)=\sin(kx),
vemos que
k=24\pi.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda usando \lambda=\dfrac{2\pi}{k}. Substituindo k=24\pi:
\lambda=\frac{2\pi}{24\pi}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}\\ \text{metro}.

Passo 5

Dar a resposta também em forma decimal e em centímetros para clareza:
\lambda=\frac{1}{12}\\ \mathrm{m}=0{,}08333\ldots\\ \mathrm{m}=8{,}333\ldots\\ \mathrm{cm}.

Resposta

\lambda=\dfrac{1}{12}\\ \mathrm{m}=0{,}08333\\ \mathrm{m}=8{,}333\\ \mathrm{cm}

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