QUESTÍO 06 - Numa corda tensionada, fixa nas duas pontas, uma certa onda estacionária vibrando no terceiro harmônico. tem a equaçāo: y^{\prime}(x, t)=0.024 \operatorname{sen}(24 \pi x) \cos (480 \pi t), com todas unidades no SI Determine:
(b) a velocidade das ondas na corda

Passo 1

O enunciado dá a forma da onda estacionária na corda:
y'(x,t)=0{,}024\sin(24\pi x)\cos(480\pi t)
Todas as unidades estão no SI. A pergunta é apenas: determinar a velocidade das ondas na corda (ou seja, a velocidade de propagação das ondas que compõem a onda estacionária).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • amplitude: 0{,}024 m (não é necessária para a velocidade, mas está na expressão);
  • termo espacial: \sin(24\pi x) → o número de onda espacial é k=24\pi (em rad/m);
  • termo temporal: \cos(480\pi t) → a frequência angular é \omega=480\pi (em rad/s).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Uma onda viajante simples tem forma y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) (ou com +\omega t), onde:
    • A é a amplitude (m);
    • k é o número de onda (em radianos por metro, rad/m). Ele está ligado ao comprimento de onda \lambda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
    • \omega é a frequência angular (em rad/s). Ela está ligada à frequência comum f por f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • A velocidade de propagação da onda é dada por
v=\dfrac{\omega}{k}.
Explicação do porquê: para a forma kx-\omega t as superfícies de fase satisfazem kx-\omega t=\text{constante}. Diferenciando em relação ao tempo obtemos k\,dx-\omega\,dt=0, então dx/dt=\omega/k, que é a velocidade de deslocamento da fase. Em uma corda com onda estacionária essa velocidade é a velocidade das duas ondas viajantes que se somaram para formar a estacionária.
Também podemos usar a relação alternativa
v=f\lambda,
onde f=\dfrac{\omega}{2\pi} e \lambda=\dfrac{2\pi}{k}; essas duas fórmulas são equivalentes porque v=(\omega/2\pi)(2\pi/k)=\omega/k.

Passo 3

Extrair k e \omega da expressão dada:
  • Do argumento espacial \sin(24\pi x) obtemos
k=24\pi\\ \text{rad/m}.
  • Do argumento temporal \cos(480\pi t) obtemos
\omega=480\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade usando v=\dfrac{\omega}{k}. Substituindo:
v=\dfrac{480\pi}{24\pi}.
Corta-se o \pi:
v=\dfrac{480}{24}.
Fazendo a divisão:
v=20\\ \text{m/s}.
Comentário sobre unidades: \omega tem unidade rad/s e k tem rad/m; ao dividir rad/s por rad/m as unidades ficam m/s, que é a unidade correta para velocidade.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para prova): calcular f e \lambda e usar v=f\lambda.
  • \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{24\pi}=\dfrac{1}{12}\\ \text{m}.
  • f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{480\pi}{2\pi}=240\\ \text{Hz}.
  • Então v=f\lambda=240\cdot \dfrac{1}{12}=20\\ \text{m/s}.
    Confere com o resultado anterior.

Resposta

20\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados