QUESTÍO 06 - Numa corda tensionada, fixa nas duas pontas, uma certa onda estacionária vibrando no terceiro harmônico. tem a equaçāo:
, com todas unidades no SI Determine:
(b) a velocidade das ondas na corda
(b) a velocidade das ondas na corda
Passo 1
O enunciado dá a forma da onda estacionária na corda:
Todas as unidades estão no SI. A pergunta é apenas: determinar a velocidade das ondas na corda (ou seja, a velocidade de propagação das ondas que compõem a onda estacionária).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- amplitude:
m (não é necessária para a velocidade, mas está na expressão); - termo espacial:
→ o número de onda espacial é (em rad/m); - termo temporal:
→ a frequência angular é (em rad/s).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
- Uma onda viajante simples tem forma
(ou com ), onde: -
é a amplitude (m); -
é o número de onda (em radianos por metro, rad/m). Ele está ligado ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular (em rad/s). Ela está ligada à frequência comum por .
-
- A velocidade de propagação da onda é dada por
Explicação do porquê: para a forma
as superfícies de fase satisfazem
. Diferenciando em relação ao tempo obtemos
, então
, que é a velocidade de deslocamento da fase. Em uma corda com onda estacionária essa velocidade é a velocidade das duas ondas viajantes que se somaram para formar a estacionária.
Também podemos usar a relação alternativa
onde
e
; essas duas fórmulas são equivalentes porque
.
Passo 3
Extrair
e
da expressão dada:
- Do argumento espacial
obtemos
- Do argumento temporal
obtemos
Passo 4
Calcular a velocidade usando
. Substituindo:
Corta-se o
:
Fazendo a divisão:
Comentário sobre unidades:
tem unidade rad/s e
tem rad/m; ao dividir rad/s por rad/m as unidades ficam m/s, que é a unidade correta para velocidade.
Passo 5
Verificação alternativa (útil para prova): calcular
e
e usar
.
-
. -
. - Então
.
Confere com o resultado anterior.