Duas bobinas cujas respectivas indutâncias próprias são L_{1}=0,2 \mathrm{H} e L_{2}=0,3 \mathrm{H} têm coeficiente de acoplamento k=0,70. Determinar a tensão eficaz induzida na bobina 2 caso a corrente na bobina 1 seja igual a i_{1}=5 \operatorname{sen}(377 t)[\mathrm{A}].

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele fornece:\n
  • Pede a tensão eficaz (RMS) induzida na bobina 2.\n
  • Dados fornecidos:\n
    • L_{1}=0,2\\ \mathrm{H}\n
    • L_{2}=0,3\\ \mathrm{H}\n
    • coeficiente de acoplamento k=0,70\n
    • corrente na bobina 1: i_{1}(t)=5\sin(377t)\\ \mathrm{[A]}\n
  • Observação importante: da forma de i_{1}(t) podemos identificar que a amplitude é I_{1m}=5\\ \mathrm{A} e a pulsação é \omega=377\\ \mathrm{rad/s}. A tensão induzida na bobina 2 será proporcional à derivada de i_{1}(t) e à indutância mútua M entre as bobinas.

Passo 2

Definição e cálculo da indutância mútua M.\n
  • Conceito curto: o coeficiente de acoplamento k relaciona a indutância mútua M com as indutâncias próprias por M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}.\nAqui L_{1} e L_{2} são as indutâncias próprias das bobinas (em henry) e k é adimensional, 0\le k\le1.\n
  • Substituindo os valores: primeiro calcule \sqrt{L_{1}L_{2}}=\sqrt{0,2\cdot0,3}=\sqrt{0,06}.\n
  • \sqrt{0,06}\approx0,244948974. Então\n M = 0,70\cdot 0,244948974\approx 0,171464283\\ \mathrm{H}.

Passo 3

Expressão da tensão induzida v_{2}(t) e derivada da corrente.\n
  • Lei geral (para acoplamento perfeito linear): a tensão induzida na bobina 2 devido à variação de corrente em 1 é v_{2}(t)=M\,\frac{d i_{1}(t)}{dt}.\nAqui v_{2}(t) tem unidades de volts, M de henry e di_{1}/dt de ampere por segundo.\n
  • Derivando i_{1}(t)=5\sin(377t):\n \frac{d i_{1}}{dt}=5\cdot 377\cos(377t)=1885\cos(377t)\\ \mathrm{[A/s]}.\n
  • Logo a tensão instantânea é\n v_{2}(t)=M\cdot 1885\cos(377t).\n
  • A amplitude (valor de pico) de v_{2}(t) é V_{2m}=M\cdot 1885.

Passo 4

Cálculo da tensão eficaz (RMS) a partir da amplitude.\n
  • Para um sinal senoidal de amplitude V_{m}, a tensão eficaz é V_{\text{rms}}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}.\n
  • Aplicando ao nosso caso, com V_{2m}=M\cdot 1885, temos\n V_{2,\text{rms}}=\frac{M\cdot 1885}{\sqrt{2}}.\n
  • Alternativamente, usando I_{1,\text{rms}}=I_{1m}/\sqrt{2} e V_{2,\text{rms}}=M\omega I_{1,\text{rms}}. Ambas as formas são idênticas porque 1885=\omega I_{1m}=377\cdot5.

Passo 5

Cálculos numéricos detalhados e resultado final.\n
  • Já temos M\approx0,171464283\\ \mathrm{H}, \omega=377\\ \mathrm{rad/s} e I_{1m}=5\\ \mathrm{A}.\n
  • Usando V_{2,\text{rms}}=M\omega \dfrac{I_{1m}}{\sqrt{2}}:\n I_{1,\text{rms}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\approx 3,535533906\\ \mathrm{A}.\n
  • Calcule \omega I_{1,\text{rms}}=377\cdot 3,535533906\approx 1332,896282\\ \mathrm{(A\cdot rad/s)}.\n
  • Finalmente\n V_{2,\text{rms}}=M\cdot(\omega I_{1,\text{rms}})\approx 0,171464283\cdot 1332,896282\approx 228,54\\ \mathrm{V}.\n
  • Observação amiga: o sinal de v_{2}(t) estará defasado de +90^\circ em relação a i_{1}(t) porque v_{2} é proporcional à derivada (derivar um seno dá um cosseno), mas como a pergunta pediu a tensão eficaz, só precisamos do módulo RMS.

Resposta

228,54\\ \mathrm{V}

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