QUESTÃO 3: Uma esfera oca feita de material bom condutor, com raio interno 5,50 \mathrm{~cm} e raio externo 11,0 cm , é concêntrica com outra esfera oco condutora, com raio interno 16,5 \mathrm{~cm} e raio externo 22,0 \mathrm{~cm}. A carga total da esfera menor é igual a +2,00 \mu \mathrm{C} e a carga total da esfera maior é igual a +4,00 \mu \mathrm{C}.
(1,0p) (a) Determine o módulo do campo elétrico a 20,0 \mathrm{~cm} do centro.
(1,0p) (b) Determine o módulo do campo elétrico a 25,0 \mathrm{~cm} do centro.
(1,0 p) (c) Qual é a carga total sobre as superfícies internas e externas de cada um dos cilindros? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas ocas condutoras concêntricas e pede três coisas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido:
Dados (peguei os valores diretamente do enunciado):
  • Raio interno da esfera menor: 5,50\\ \mathrm{cm}.
  • Raio externo da esfera menor: 11,0\\ \mathrm{cm}.
  • Carga total da esfera menor: +2,00\\ \mu\mathrm{C}.
  • Raio interno da esfera maior: 16,5\\ \mathrm{cm}.
  • Raio externo da esfera maior: 22,0\\ \mathrm{cm}.
  • Carga total da esfera maior: +4,00\\ \mu\mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Determinar o módulo do campo elétrico a 20,0\\ \mathrm{cm} do centro.
(b) Determinar o módulo do campo elétrico a 25,0\\ \mathrm{cm} do centro.
(c) Determinar a carga total sobre as superfícies internas e externas de cada uma das esferas (o enunciado fala “cilindros”, mas interpreto como as esferas concêntricas descritas).

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Em eletrostática, um condutor em equilíbrio tem o campo elétrico nulo no seu volume e no metal. Isso faz com que cargas livres se distribuam apenas nas superfícies do condutor.
  • Lei de Gauss (forma integral) é a ferramenta prática aqui:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície fechada e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
  • Para simetria esférica (campo radial uniforme sobre uma superfície esférica de raio r), a integral de fluxo vira E\,(4\pi r^2) e, portanto,
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
Explicando variáveis: E(r) é o módulo do campo elétrico na distância r do centro; Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da esfera de raio r; r deve ser dado em metros para usar SI.
  • Também usaremos a propriedade dos condutores: se existe uma carga dentro de uma cavidade externa ao metal (por exemplo, uma esfera condutora dentro de outra), cargas induzidas aparecem na superfície interna do condutor externo, de modo a anular o campo dentro do corpo do condutor.

Passo 3

Distribuição de carga na esfera menor (explicação passo a passo):
  • A esfera menor é um condutor oco, sem nenhuma carga colocada no interior do seu casco (o enunciado só dá a carga total do condutor). Num condutor oco sem carga dentro da cavidade interna, toda a carga livre do condutor fica na superfície externa do condutor.
  • Logo, para a esfera menor:
    • Carga na superfície interna (raio 5,50\\ \mathrm{cm}): 0.
    • Carga na superfície externa (raio 11,0\\ \mathrm{cm}): +2,00\\ \mu\mathrm{C}.
      Isto é porque nada exige que haja carga na superfície interna; a carga total +2,00\\ \mu\mathrm{C} se aloja na face externa do casco condutor.

Passo 4

Indução e distribuição na esfera maior (passo a passo e justificativa):
  • A esfera maior é um condutor com cavidade externa (entre 16,5\\ \mathrm{cm} e 22,0\\ \mathrm{cm} está o metal). A esfera menor (com +2,00\\ \mu\mathrm{C}) está situada no interior da cavidade da esfera maior e contribui para o campo dentro dessa cavidade.
  • Dentro do metal da esfera maior o campo elétrico deve ser nulo. Para anular o campo produzido pela carga +2,00\\ \mu\mathrm{C} que está no centro (ou melhor, dentro da cavidade), a superfície interna da esfera maior (raio 16,5\\ \mathrm{cm}) deve ter carga induzida de sinal oposto e de mesma magnitude: -2,00\\ \mu\mathrm{C}. Assim o campo dentro do metal se anula.
  • A esfera maior tem carga total dada +4,00\\ \mu\mathrm{C}. Se a superfície interna carrega -2,00\\ \mu\mathrm{C}, então a superfície externa (raio 22,0\\ \mathrm{cm}) deve conter o restante, isto é:
Q_{\text{externa}}^{(\text{maior})}=+4,00\\ \mu\mathrm{C}-(-2,00\\ \mu\mathrm{C})=+6,00\\ \mu\mathrm{C}.
  • Resumo para a esfera maior:
    • Carga na superfície interna (raio 16,5\\ \mathrm{cm}): -2,00\\ \mu\mathrm{C}.
    • Carga na superfície externa (raio 22,0\\ \mathrm{cm}): +6,00\\ \mu\mathrm{C}.
Observação física rápida e intuitiva: a carga interna positiva atrai carga negativa para a superfície interna do invólucro. Como a carga total do invólucro é positiva +4,00\\ \mu\mathrm{C}, sobra mais carga positiva na face externa.

Passo 5

Cálculo do campo elétrico a 20,0\\ \mathrm{cm} do centro (parte a)):
  • Primeiro note a posição: 20,0\\ \mathrm{cm} está entre 16,5\\ \mathrm{cm} e 22,0\\ \mathrm{cm}, isto é, dentro do material condutor da esfera maior. Em regime eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero:
E(20{,}0\\ \mathrm{cm})=0.
  • Verificação via Gauss: tome uma superfície esférica gaussiana de raio r=20{,}0\\ \mathrm{cm}. Ela envolve:
    • a carga +2,00\\ \mu\mathrm{C} da esfera menor (localizada em r=11{,}0\\ \mathrm{cm}),
    • e também envolve a carga -2,00\\ \mu\mathrm{C} que está na superfície interna da esfera maior (em r=16{,}5\\ \mathrm{cm}).
      Soma das cargas dentro da superfície gaussiana: +2{,}00\\ \mu\mathrm{C}+(-2{,}00\\ \mu\mathrm{C})=0. Pela lei de Gauss,
E\,(4\pi r^2)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0\quad\Rightarrow\quad E=0,
coerente com a propriedade do condutor.

Passo 6

Cálculo do campo elétrico a 25,0\\ \mathrm{cm} do centro (parte b)):
  • Agora 25{,}0\\ \mathrm{cm} está fora de todas as esferas (maior raio externo 22,0\\ \mathrm{cm}). Uma superfície gaussiana de raio r=25{,}0\\ \mathrm{cm} envolve todas as cargas livres do sistema. O total de carga que fica efetivamente fora (visível por um observador em r>22{,}0\\ \mathrm{cm}) é a soma:
Q_{\text{enc}}=Q_{\text{esfera menor}} + Q_{\text{esfera maior (total)}} = +2{,}00\\ \mu\mathrm{C} + +4{,}00\\ \mu\mathrm{C} = +6{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
(ou seja, também é igual à soma das cargas das superfícies externas, +2{,}00\\ \mu\mathrm{C} + +6{,}00\\ \mu\mathrm{C} -2{,}00\\ \mu\mathrm{C} = +6{,}00\\ \mu\mathrm{C} — mas a soma direta das cargas totais é suficiente).
  • Vamos usar a fórmula para campo radial:
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
Substituindo valores (converteu-se para SI):
Q_{\text{enc}}=+6{,}00\\ \mu\mathrm{C}=6{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
r=25{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}250\\ \mathrm{m},
\varepsilon_0\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
  • Calculemos passo a passo:
4\pi\varepsilon_0 \approx 4\pi(8{,}85\times10^{-12})\approx 1{,}11265\times10^{-10}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
r^2=(0{,}250)^2=0{,}0625\\ \mathrm{m^2}.
4\pi\varepsilon_0 r^2 \approx 1{,}11265\times10^{-10}\times0{,}0625 \approx 6{,}95406\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/N}.
E(0{,}250\\ \mathrm{m})=\frac{6{,}00\times10^{-6}}{6{,}95406\times10^{-12}}\\ \mathrm{N/C}\approx 8{,}63\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: como Q_{\text{enc}} é positiva, o campo é radial e aponta para fora (sentido de afastamento do centro). O enunciado pediu o módulo, então a resposta numérica é 8{,}63\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (com três algarismos significativos, compatível com os dados).

Passo 7

Resumo da interpretação física e checagem final:
  • Dentro do metal (qualquer ponto entre 16{,}5 e 22{,}0\\ \mathrm{cm}) o campo é zero — isso é uma propriedade geral dos condutores em equilíbrio eletrostático.
  • Fora de todas as esferas o campo é o de uma carga pontual igual à soma de todas as cargas do sistema (aqui +6{,}00\\ \mu\mathrm{C}).
  • As cargas nas superfícies obedecem à conservação da carga total de cada condutor e ao requisito de anular campo no interior do metal, o que levou às cargas induzidas descritas no Passo 4.

Resposta

(a) E(20{,}0\\ \mathrm{cm})=0\\ \mathrm{N/C}.
(b) E(25{,}0\\ \mathrm{cm})=8{,}63\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (radial para fora).
(c) Esfera menor: carga na superfície interna =0, carga na superfície externa =+2{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
Esfera maior: carga na superfície interna =-2{,}00\\ \mu\mathrm{C}, carga na superfície externa =+6{,}00\\ \mu\mathrm{C}.

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