QUESTÃO 3: Uma esfera oca feita de material bom condutor, com raio interno
e raio externo 11,0 cm , é concêntrica com outra esfera oco condutora, com raio interno
e raio externo
. A carga total da esfera menor é igual a
e a carga total da esfera maior é igual a
.
(1,0p) (a) Determine o módulo do campo elétrico a
do centro.
(1,0p) (b) Determine o módulo do campo elétrico a
do centro.
(c) Qual é a carga total sobre as superfícies internas e externas de cada um dos cilindros? Justifique.
(1,0p) (a) Determine o módulo do campo elétrico a
(1,0p) (b) Determine o módulo do campo elétrico a
Passo 1
O enunciado dá duas esferas ocas condutoras concêntricas e pede três coisas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido:
Dados (peguei os valores diretamente do enunciado):
- Raio interno da esfera menor:
. - Raio externo da esfera menor:
. - Carga total da esfera menor:
. - Raio interno da esfera maior:
. - Raio externo da esfera maior:
. - Carga total da esfera maior:
.
Perguntas:
(a) Determinar o módulo do campo elétrico a do centro.
(b) Determinar o módulo do campo elétrico a do centro.
(c) Determinar a carga total sobre as superfícies internas e externas de cada uma das esferas (o enunciado fala “cilindros”, mas interpreto como as esferas concêntricas descritas).
(a) Determinar o módulo do campo elétrico a
(b) Determinar o módulo do campo elétrico a
(c) Determinar a carga total sobre as superfícies internas e externas de cada uma das esferas (o enunciado fala “cilindros”, mas interpreto como as esferas concêntricas descritas).
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Em eletrostática, um condutor em equilíbrio tem o campo elétrico nulo no seu volume e no metal. Isso faz com que cargas livres se distribuam apenas nas superfícies do condutor.
- Lei de Gauss (forma integral) é a ferramenta prática aqui:
onde
é a carga total dentro da superfície fechada e
é a permissividade do vácuo (
).
- Para simetria esférica (campo radial uniforme sobre uma superfície esférica de raio
), a integral de fluxo vira e, portanto,
Explicando variáveis:
é o módulo do campo elétrico na distância
do centro;
é a carga total dentro da esfera de raio
;
deve ser dado em metros para usar SI.
- Também usaremos a propriedade dos condutores: se existe uma carga dentro de uma cavidade externa ao metal (por exemplo, uma esfera condutora dentro de outra), cargas induzidas aparecem na superfície interna do condutor externo, de modo a anular o campo dentro do corpo do condutor.
Passo 3
Distribuição de carga na esfera menor (explicação passo a passo):
- A esfera menor é um condutor oco, sem nenhuma carga colocada no interior do seu casco (o enunciado só dá a carga total do condutor). Num condutor oco sem carga dentro da cavidade interna, toda a carga livre do condutor fica na superfície externa do condutor.
- Logo, para a esfera menor:
- Carga na superfície interna (raio
): . - Carga na superfície externa (raio
): .
Isto é porque nada exige que haja carga na superfície interna; a carga totalse aloja na face externa do casco condutor.
- Carga na superfície interna (raio
Passo 4
Indução e distribuição na esfera maior (passo a passo e justificativa):
- A esfera maior é um condutor com cavidade externa (entre
e está o metal). A esfera menor (com ) está situada no interior da cavidade da esfera maior e contribui para o campo dentro dessa cavidade. - Dentro do metal da esfera maior o campo elétrico deve ser nulo. Para anular o campo produzido pela carga
que está no centro (ou melhor, dentro da cavidade), a superfície interna da esfera maior (raio ) deve ter carga induzida de sinal oposto e de mesma magnitude: . Assim o campo dentro do metal se anula. - A esfera maior tem carga total dada
. Se a superfície interna carrega , então a superfície externa (raio ) deve conter o restante, isto é:
- Resumo para a esfera maior:
- Carga na superfície interna (raio
): . - Carga na superfície externa (raio
): .
- Carga na superfície interna (raio
Observação física rápida e intuitiva: a carga interna positiva atrai carga negativa para a superfície interna do invólucro. Como a carga total do invólucro é positiva
, sobra mais carga positiva na face externa.
Passo 5
Cálculo do campo elétrico a
do centro (parte a)):
- Primeiro note a posição:
está entre e , isto é, dentro do material condutor da esfera maior. Em regime eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero:
- Verificação via Gauss: tome uma superfície esférica gaussiana de raio
. Ela envolve: - a carga
da esfera menor (localizada em ), - e também envolve a carga
que está na superfície interna da esfera maior (em ).
Soma das cargas dentro da superfície gaussiana:. Pela lei de Gauss,
- a carga
coerente com a propriedade do condutor.
Passo 6
Cálculo do campo elétrico a
do centro (parte b)):
- Agora
está fora de todas as esferas (maior raio externo ). Uma superfície gaussiana de raio envolve todas as cargas livres do sistema. O total de carga que fica efetivamente fora (visível por um observador em ) é a soma:
(ou seja, também é igual à soma das cargas das superfícies externas,
— mas a soma direta das cargas totais é suficiente).
- Vamos usar a fórmula para campo radial:
Substituindo valores (converteu-se para SI):
- Calculemos passo a passo:
- Direção: como
é positiva, o campo é radial e aponta para fora (sentido de afastamento do centro). O enunciado pediu o módulo, então a resposta numérica é (com três algarismos significativos, compatível com os dados).
Passo 7
Resumo da interpretação física e checagem final:
- Dentro do metal (qualquer ponto entre
e ) o campo é zero — isso é uma propriedade geral dos condutores em equilíbrio eletrostático. - Fora de todas as esferas o campo é o de uma carga pontual igual à soma de todas as cargas do sistema (aqui
). - As cargas nas superfícies obedecem à conservação da carga total de cada condutor e ao requisito de anular campo no interior do metal, o que levou às cargas induzidas descritas no Passo 4.
Resposta
(a)
(b) (radial para fora).
(c) Esfera menor: carga na superfície interna , carga na superfície externa
.
Esfera maior: carga na superfície interna , carga na superfície externa
.
(b)
(c) Esfera menor: carga na superfície interna
Esfera maior: carga na superfície interna