3.15 ป Uma densidade volumétrica de carga está posicionada da seguinte maneira:
para
e para
para
mm . (a) Calcule a carga total na região
, onde
. (b) Use a lei de Gauss para determinar
em
. (c) Calcule
em
.
Passo 1
O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga cuja expressão depende do raio em coordenadas cilíndricas. Vou listar o que é dado e o que se pede, ponto a ponto, bem claro:
-
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Para
e para vale . - Para
vale .
(Aquina direita é o raio radial; converterei para quando precisar.) - Intervalo axial para perguntas:
.
- Para
-
Perguntas:
(a) Calcular a carga total na região, onde .
(b) Usar a lei de Gauss para determinarem .
(c) Calcularem .
Passo 2
Entendendo como proceder (passo didático rápido e necessário): por simetria cilíndrica a solução é radial e independente de
e
. Para obter a carga total dentro de um cilindro coaxial usamos a integral de volume em coordenadas cilíndricas; o elemento de volume é
onde uso
como variável de integração radial para evitar confusão com o limite
. Além disso, a lei integral de Gauss para
é
Para uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento
temos
constante sobre a superfície lateral e a área lateral é
, de modo que
Vou usar isso depois de calcular
.
Passo 3
Calcular a carga total pedida em (a). Primeiro converto a densidade para
:
A carga total no cilindro
(lembrando que para
a densidade é zero) é
Substituindo
obtemos
Integral de
é
, logo
Simplificando constantes:
Isto responde a (a) em forma fechada (expressa em
); se quiser colocar
em metros basta substituir.
Passo 4
Determinar
em
usando a lei de Gauss (resposta para (b)). Pelo raciocínio do Passo 2,
Substituindo a expressão de
do Passo 3:
Corta
e sobra
Essa é a expressão de
em
(unidade
). Explico rapidamente cada termo: o fator
vem da densidade dada (convertida), a combinação
aparece porque a integral deu
e ao dividir por
da área lateral fica
; o termo
é o efeito da exclusão da região interna
.
Passo 5
Agora (c) — calcular
em quatro raios específicos. Primeiro raciocínio de caso por caso:
- Para qualquer
a densidade é zero em toda a região interna até esse raio; portanto não há carga encerrada e por Gauss
Isto já dá
e
.
- Para
(que está no intervalo ) devemos usar a fórmula do Passo 4 com . Substituindo:
Logo
Multiplicando:
Direção: radial para fora (pela simetria, assumimos positivo no sentido
).
- Para
(maior que ) toda a carga que existe está contida na casca ; portanto é a carga total dessa casca (pega da expressão do Passo 3 com ). Calculemos numericamente o fluxo (eu já tinha a expressão geral; aqui faço direto numérico):
Então
Agora aplicar Gauss para raio
:
Cancelando
:
Calculando numericamente:
também radial para fora.