3.15 ป Uma densidade volumétrica de carga está posicionada da seguinte maneira: \rho_{\nu}=0 para \rho<1 \mathrm{~mm} e para \rho>2 \mathrm{~mm}, \rho_{\nu}=4 \rho \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 1<\rho<2 mm . (a) Calcule a carga total na região 0<\rho<\rho_{1}, 0<z<L, onde 1<\rho_{1} <2 \mathrm{~mm}. (b) Use a lei de Gauss para determinar D_{\rho} em \rho=\rho_{1}. (c) Calcule D_{\rho} em \rho=0,8 \mathrm{~mm}, 1,6 \mathrm{~mm} \mathrm{e} 2,4 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga cuja expressão depende do raio em coordenadas cilíndricas. Vou listar o que é dado e o que se pede, ponto a ponto, bem claro:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Para \rho<1\\ \mathrm{mm} e para \rho>2\\ \mathrm{mm} vale \rho_{\nu}=0.
    • Para 1<\rho<2\\ \mathrm{mm} vale \rho_{\nu}(\rho)=4\,\rho\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
      (Aqui \rho na direita é o raio radial; converterei \mu\mathrm{C} para \mathrm{C} quando precisar.)
    • Intervalo axial para perguntas: 0<z<L.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a carga total na região 0<\rho<\rho_{1},\\\ 0<z<L, onde 1<\rho_{1}<2\\ \mathrm{mm}.
    (b) Usar a lei de Gauss para determinar D_{\rho} em \rho=\rho_{1}.
    (c) Calcular D_{\rho} em \rho=0,\\\ 0{,}8\\ \mathrm{mm},\\\ 1{,}6\\ \mathrm{mm}\\ \text{e}\\\ 2{,}4\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Entendendo como proceder (passo didático rápido e necessário): por simetria cilíndrica a solução é radial e independente de \varphi e z. Para obter a carga total dentro de um cilindro coaxial usamos a integral de volume em coordenadas cilíndricas; o elemento de volume é
dV=\rho'\,d\rho'\,d\varphi\,dz,
onde uso \rho' como variável de integração radial para evitar confusão com o limite \rho_{1}. Além disso, a lei integral de Gauss para \mathbf{D} é
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\mathrm{enc}}.
Para uma superfície cilíndrica de raio \rho e comprimento L temos \mathbf{D}=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol\rho} constante sobre a superfície lateral e a área lateral é 2\pi\rho L, de modo que
D_{\rho}(\rho)\,(2\pi\rho L)=Q_{\mathrm{enc}}(\rho).
Vou usar isso depois de calcular Q_{\mathrm{enc}}.

Passo 3

Calcular a carga total pedida em (a). Primeiro converto a densidade para \mathrm{C}/\mathrm{m}^3:
\rho_{\nu}(\rho')=4\,\rho'\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3\quad\text{para }1\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho'<\rho_{1}.
A carga total no cilindro 0<\rho<\rho_{1},\\\ 0<z<L (lembrando que para \rho'<1\\ \mathrm{mm} a densidade é zero) é
Q_{\mathrm{enc}}=\int_{z=0}^{L}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho'=1\cdot10^{-3}}^{\rho_{1}} \rho_{\nu}(\rho')\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi\,dz.
Substituindo \rho_{\nu}(\rho')=4\cdot10^{-6}\rho' obtemos
Q_{\mathrm{enc}}=4\cdot10^{-6}\,(2\pi L)\int_{1\cdot10^{-3}}^{\rho_{1}} \rho'^{2}\,d\rho'.
Integral de \rho'^{2} é \rho'^{3}/3, logo
Q_{\mathrm{enc}}=4\cdot10^{-6}\,(2\pi L)\,\frac{\rho_{1}^{3}-(1\cdot10^{-3})^{3}}{3}.
Simplificando constantes:
Q_{\mathrm{enc}}=\frac{8\pi L}{3}\times 10^{-6}\,\bigl(\rho_{1}^{3}-10^{-9}\bigr).
Isto responde a (a) em forma fechada (expressa em \mathrm{C}); se quiser colocar \rho_{1} em metros basta substituir.

Passo 4

Determinar D_{\rho} em \rho=\rho_{1} usando a lei de Gauss (resposta para (b)). Pelo raciocínio do Passo 2,
D_{\rho}(\rho_{1})=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{2\pi \rho_{1} L}.
Substituindo a expressão de Q_{\mathrm{enc}} do Passo 3:
D_{\rho}(\rho_{1})=\frac{\dfrac{8\pi L}{3}\times 10^{-6}\,(\rho_{1}^{3}-10^{-9})}{2\pi \rho_{1} L}.
Corta 2\pi L e sobra
D_{\rho}(\rho_{1})=\frac{4\cdot10^{-6}}{3}\left(\rho_{1}^{2}-\frac{10^{-9}}{\rho_{1}}\right).
Essa é a expressão de D_{\rho} em \rho=\rho_{1} (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}). Explico rapidamente cada termo: o fator 4\cdot10^{-6} vem da densidade dada (convertida), a combinação \rho_{1}^{2} aparece porque a integral deu \rho^{3} e ao dividir por \rho_{1} da área lateral fica \rho_{1}^{2}; o termo -10^{-9}/\rho_{1} é o efeito da exclusão da região interna \rho<1\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora (c) — calcular D_{\rho} em quatro raios específicos. Primeiro raciocínio de caso por caso:
  • Para qualquer \rho<1\\ \mathrm{mm} a densidade é zero em toda a região interna até esse raio; portanto não há carga encerrada e por Gauss
D_{\rho}(\rho)=0\quad\text{para }\rho<1\\ \mathrm{mm}.
Isto já dá D_{\rho}(0)=0 e D_{\rho}(0{,}8\\ \mathrm{mm})=0.
  • Para \rho=1{,}6\\ \mathrm{mm} (que está no intervalo 1\\ \text{mm}<\rho<2\\ \text{mm}) devemos usar a fórmula do Passo 4 com \rho_{1}=1{,}6\\ \mathrm{mm}=1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Substituindo:
\rho=1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad \rho^{2}=(1{,}6\times10^{-3})^{2}=2{,}56\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2},
\frac{10^{-9}}{\rho}=\frac{10^{-9}}{1{,}6\times10^{-3}}=6{,}25\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}.
Logo
D_{\rho}(1{,}6\\ \mathrm{mm})=\frac{4\cdot10^{-6}}{3}\left(2{,}56\times10^{-6}-6{,}25\times10^{-7}\right) =\frac{4\cdot10^{-6}}{3}\cdot 1{,}935\times10^{-6}.
Multiplicando:
D_{\rho}(1{,}6\\ \mathrm{mm})=2{,}58\times10^{-12}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Direção: radial para fora (pela simetria, assumimos positivo no sentido \hat{\boldsymbol\rho}).
  • Para \rho=2{,}4\\ \mathrm{mm} (maior que 2\\ \mathrm{mm}) toda a carga que existe está contida na casca 1\\ \mathrm{mm}<\rho<2\\ \mathrm{mm}; portanto Q_{\mathrm{enc}} é a carga total dessa casca (pega da expressão do Passo 3 com \rho_{1}=2\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}). Calculemos numericamente o fluxo (eu já tinha a expressão geral; aqui faço direto numérico):
\rho_{1}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\Rightarrow \rho_{1}^{3}-(10^{-3})^{3}=8\times10^{-9}-1\times10^{-9}=7\times10^{-9}.
Então
Q_{\mathrm{total}}=\frac{8\pi L}{3}\times10^{-6}\times 7\times10^{-9}=\frac{56\pi L}{3}\times10^{-15}\\ \mathrm{C}.
Agora aplicar Gauss para raio \rho=2{,}4\\ \mathrm{mm}=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
D_{\rho}(2{,}4\\ \mathrm{mm})=\frac{Q_{\mathrm{total}}}{2\pi \rho L} =\frac{\dfrac{56\pi L}{3}\times10^{-15}}{2\pi (2{,}4\times10^{-3}) L}.
Cancelando \pi L:
D_{\rho}(2{,}4\\ \mathrm{mm})=\frac{56}{3}\cdot\frac{10^{-15}}{2\cdot 2{,}4\times10^{-3}} =\frac{56}{3}\cdot\frac{10^{-15}}{4{,}8\times10^{-3}}.
Calculando numericamente:
D_{\rho}(2{,}4\\ \mathrm{mm})\approx 3{,}89\times10^{-12}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2},
também radial para fora.

Resposta

Q_{\mathrm{enc}}=\dfrac{8\pi L}{3}\times10^{-6}\bigl(\rho_{1}^{3}-10^{-9}\bigr)\\ \mathrm{C}.
D_{\rho}(\rho_{1})=\dfrac{4\cdot10^{-6}}{3}\!\left(\rho_{1}^{2}-\dfrac{10^{-9}}{\rho_{1}}\right)\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
D_{\rho}(0)=0\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
D_{\rho}(0{,}8\\ \mathrm{mm})=0\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
D_{\rho}(1{,}6\\ \mathrm{mm})=2{,}58\times10^{-12}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
D_{\rho}(2{,}4\\ \mathrm{mm})=3{,}89\times10^{-12}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.

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