Duas cargas elétricas puntiformes separadas por uma dada distância repelem-se com força de intensidade F . Se reduzirmos a distância à quarta parte, sem alterar as cargas, qual a intensidade da nova força. Qual a razão entre as forças?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Duas cargas elétricas puntiformes, com cargas fixas (não mudam).
  • As cargas estão inicialmente separadas por uma distância qualquer, que chamaremos de \,r\,, e se repelem com força de intensidade \,F\,.
  • A distância é reduzida para a quarta parte, isto é, passa a ser \dfrac{r}{4}, sem alterar as cargas.
    As perguntas são:
  • Qual a intensidade da nova força (ou seja, quanto vale a força após reduzir a distância)?
  • Qual a razão entre as forças (relação entre nova força e a força original)?

Passo 2

Introduzir a lei que relaciona força, cargas e distância (fórmula usada para resolver). A força elétrica entre duas cargas puntiformes separadas por distância \,r\, é dada por
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde:
  • \,F\, é a intensidade da força elétrica (módulo),
  • \,k\, é a constante eletrostática ( k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, mas o valor numérico não é necessário aqui),
  • \,q_1 e \,q_2 são as cargas (valores fixos no enunciado),
  • \,r\, é a distância entre as cargas.
    Explicação didática: essa fórmula diz que a força é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. “Inversamente proporcional ao quadrado” significa que, se a distância diminui, a força aumenta com o quadrado do fator de mudança da distância.

Passo 3

Escrever a força inicial (já dada no enunciado como \,F\,) em termos da fórmula:
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}.
Aqui estamos só reescrevendo o F conhecido usando a expressão matemática para poder comparar depois com a nova força.

Passo 4

Definir a nova distância e escrever a nova força. A nova distância é
r' = \frac{r}{4}.
Substituindo na fórmula da força:
F' = k\,\frac{q_1 q_2}{(r')^2} = k\,\frac{q_1 q_2}{\left(\dfrac{r}{4}\right)^2}.

Passo 5

Calcular explicitamente (r')^2 e simplificar para obter F':
\left(\frac{r}{4}\right)^2 = \frac{r^2}{16},
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F' = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2/16} = 16\,k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}.
Como k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}=F (pela expressão inicial), obtém-se
F' = 16\,F.
Explicação didática: reduzir a distância para um quarto faz com que o denominador \,r^2\, diminua por um fator 16, então a força aumenta por um fator 16.

Passo 6

Calcular a razão pedida entre as forças. A razão entre nova força e força original é
\frac{F'}{F} = \frac{16F}{F} = 16.
Em notação de proporção, F':F = 16:1.
Exemplo numérico rápido para visualizar: se originalmente F=1\\ \text{N}, então com a distância reduzida para \tfrac{1}{4} a nova força seria F'=16\\ \text{N}.

Resposta

F' = 16F
\dfrac{F'}{F} = 16

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