Um circuito
em série é alimentado por um gerador de corrente alternada cuja força eletromotriz possui um valor máximo
.
(a) Escreva a expressão da potência média fornecida ao circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz máxima.
(b) Escreva a expressão da potência média consumida no circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz eficaz.
(a) Escreva a expressão da potência média fornecida ao circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz máxima.
(b) Escreva a expressão da potência média consumida no circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz eficaz.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Dado: um circuito série
alimentado por uma tensão alternada cuja força eletromotriz instantânea tem amplitude (valor máximo) . - Situação: analisar o circuito durante a ressonância (isto é, na frequência em que o comportamento do circuito é o de ressonância).
- Pedidos:
(a) escrever a expressão da potência média fornecida ao circuito durante a ressonância em função de;
(b) escrever a expressão da potência média consumida no circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz eficaz (isto é,, o valor eficaz/RMS da tensão).
Variáveis que vamos usar (essas são as quantidades relevantes fornecidas ou necessárias):
-
: amplitude (valor máximo) da força eletromotriz. -
: valor eficaz (RMS) da força eletromotriz. -
: resistência do circuito série (é a parte que dissipa potência como calor). -
: amplitude da corrente. -
: valor eficaz (RMS) da corrente. -
: ângulo de defasagem entre tensão e corrente (na ressonância espera-se ).
Passo 2
Entender o que acontece na ressonância e como se relacionam tensão, corrente e impedância.
- A tensão de alimentação (instantânea) pode ser escrita como
- A impedância (complexa) de um circuito série
é
onde
é a reatância indutiva e
é a reatância capacitiva.
- Condição de ressonância:
, ou seja . Nessa condição a parte imaginária de se anula e temos
- Assim, na ressonância a corrente está em fase com a tensão (ângulo de fase
) e a amplitude da corrente é simplesmente
Passo 3
Explicar o conceito de valor eficaz (RMS) para senoides e calcular
a partir de
.
- Definição: o valor eficaz (RMS) de uma tensão
num período é
- Para
usa-se a identidade média de : a média de num período é . Então
- Portanto
- De forma análoga, a corrente eficaz é
. Como , temos também
Passo 4
Fórmula geral da potência média em regime senoidal e sua aplicação na ressonância.
- Em regime senoidal a potência média (ativa) entregue a um circuito é
onde
é o fator de potência (ângulo de defasagem tensão–corrente).
- Na ressonância, como já vimos, a corrente está em fase com a tensão, logo
e . Assim
- Substituindo
obtemos a expressão em termos do valor eficaz:
Isto responde o item (b). Vamos agora obter a expressão em termos de
para responder (a).
Passo 5
Obter a potência média em função de
.
- Podemos usar a relação equivalente em amplitudes: a potência média também se escreve
- Na ressonância
e . Substituindo:
- Verificação rápida de consistência com o resultado do Passo 4: usando
,
o que confirma que as duas formas são equivalentes.
Passo 6
Resumo final e dica de prova.
- Resultado prático que convém decorar: em série
na ressonância a potência média é a mesma que a potência dissipada pela resistência como se fosse apenas um resistor alimentado pela tensão eficaz. - Se precisar justificar rapidamente numa prova: mencionar que na ressonância a reatância líquida é zero,
, corrente em fase com a tensão ( ), usar e as relações RMS/amplitude.
Resposta
(a)
(b)
(b)