Um circuito R L C em série é alimentado por um gerador de corrente alternada cuja força eletromotriz possui um valor máximo V_{m}.
(a) Escreva a expressão da potência média fornecida ao circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz máxima.
(b) Escreva a expressão da potência média consumida no circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz eficaz.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dado: um circuito série RLC alimentado por uma tensão alternada cuja força eletromotriz instantânea tem amplitude (valor máximo) V_{m}.
  • Situação: analisar o circuito durante a ressonância (isto é, na frequência em que o comportamento do circuito é o de ressonância).
  • Pedidos:
    (a) escrever a expressão da potência média fornecida ao circuito durante a ressonância em função de V_{m};
    (b) escrever a expressão da potência média consumida no circuito durante a ressonância em função da força eletromotriz eficaz (isto é, V_{\text{ef}}, o valor eficaz/RMS da tensão).
Variáveis que vamos usar (essas são as quantidades relevantes fornecidas ou necessárias):
  • V_{m}: amplitude (valor máximo) da força eletromotriz.
  • V_{\text{ef}}: valor eficaz (RMS) da força eletromotriz.
  • R: resistência do circuito série (é a parte que dissipa potência como calor).
  • I_{m}: amplitude da corrente.
  • I_{\text{ef}}: valor eficaz (RMS) da corrente.
  • \varphi: ângulo de defasagem entre tensão e corrente (na ressonância espera-se \varphi=0).

Passo 2

Entender o que acontece na ressonância e como se relacionam tensão, corrente e impedância.
  • A tensão de alimentação (instantânea) pode ser escrita como
v(t)=V_{m}\cos(\omega t).
  • A impedância (complexa) de um circuito série RLC é
Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right),
onde X_L=\omega L é a reatância indutiva e X_C=\dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva.
  • Condição de ressonância: \omega L = \dfrac{1}{\omega C}, ou seja X_L=X_C. Nessa condição a parte imaginária de Z se anula e temos
Z=R\quad\text{(em módulo e sem parte imaginária).}óá
  • Assim, na ressonância a corrente está em fase com a tensão (ângulo de fase \varphi=0) e a amplitude da corrente é simplesmente
I_{m}=\frac{V_{m}}{|Z|}=\frac{V_{m}}{R}.

Passo 3

Explicar o conceito de valor eficaz (RMS) para senoides e calcular V_{\text{ef}} a partir de V_{m}.
  • Definição: o valor eficaz (RMS) de uma tensão v(t) num período T é
V_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^{2}(t)\,dt}.
  • Para v(t)=V_{m}\cos(\omega t) usa-se a identidade média de \cos^2: a média de \cos^{2} num período é 1/2. Então
V_{\text{ef}}^{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{m}^{2}\cos^{2}(\omega t)\,dt=V_{m}^{2}\cdot\frac{1}{2}.
  • Portanto
V_{\text{ef}}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}.
  • De forma análoga, a corrente eficaz é I_{\text{ef}}=I_{m}/\sqrt{2}. Como I_{m}=\dfrac{V_{m}}{R}, temos também
I_{\text{ef}}=\frac{V_{m}}{R\sqrt{2}}=\frac{V_{\text{ef}}}{R}.

Passo 4

Fórmula geral da potência média em regime senoidal e sua aplicação na ressonância.
  • Em regime senoidal a potência média (ativa) entregue a um circuito é
P=V_{\text{ef}}\,I_{\text{ef}}\,\cos\varphi,
onde \cos\varphi é o fator de potência (ângulo de defasagem tensão–corrente).
  • Na ressonância, como já vimos, a corrente está em fase com a tensão, logo \varphi=0 e \cos\varphi=1. Assim
P=V_{\text{ef}}\,I_{\text{ef}}.
  • Substituindo I_{\text{ef}}=\dfrac{V_{\text{ef}}}{R} obtemos a expressão em termos do valor eficaz:
P=\frac{V_{\text{ef}}^{2}}{R}.
Isto responde o item (b). Vamos agora obter a expressão em termos de V_{m} para responder (a).

Passo 5

Obter a potência média em função de V_{m}.
  • Podemos usar a relação equivalente em amplitudes: a potência média também se escreve
P=\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos\varphi.
  • Na ressonância \cos\varphi=1 e I_{m}=\dfrac{V_{m}}{R}. Substituindo:
P=\frac{1}{2}V_{m}\cdot\frac{V_{m}}{R}=\frac{V_{m}^{2}}{2R}.
  • Verificação rápida de consistência com o resultado do Passo 4: usando V_{\text{ef}}=\dfrac{V_{m}}{\sqrt{2}},
\frac{V_{\text{ef}}^{2}}{R}=\frac{\left(\dfrac{V_{m}}{\sqrt{2}}\right)^{2}}{R}=\frac{V_{m}^{2}}{2R},
o que confirma que as duas formas são equivalentes.

Passo 6

Resumo final e dica de prova.
  • Resultado prático que convém decorar: em série RLC na ressonância a potência média é a mesma que a potência dissipada pela resistência como se fosse apenas um resistor alimentado pela tensão eficaz.
  • Se precisar justificar rapidamente numa prova: mencionar que na ressonância a reatância líquida é zero, Z=R, corrente em fase com a tensão ( \varphi=0), usar P=V_{\text{ef}}I_{\text{ef}} e as relações RMS/amplitude.

Resposta

(a) \displaystyle P=\frac{V_{m}^{2}}{2R}
(b) \displaystyle P=\frac{V_{\text{ef}}^{2}}{R}

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