Duas cargas pontuais (diâmetro das esferas
) de valor -q estão colocadas sobre o eixo x conforme Uma partícula de massa M e carga -Q está disposta à uma distância x sobre o eixo perpendicular à linha que passa pelo centro de uma anel de raio R , carregado com uma densidade de carga linear +L .
Calcule:
a) O campo elétrico
sobre -Qq.
b) Assumindo que
, mostre que o movimento de M é um MHS e calcule sua frequência( 1,0 ). (Sugestão: Calcule a componente
da força elétrica sobre
. Para mostrar que o movimento é um MHS lembre-se de verificar que
em que
é uma constante. Você deve calcular esta constante.)
Calcule:
a) O campo elétrico
b) Assumindo que
Passo 1
O enunciado e os dados (organizando tudo claramente):
- Há um anel de raio
com densidade linear de carga positiva . O anel está no plano (centro na origem). - Uma partícula de massa
e carga está colocada sobre o eixo perpendicular ao plano do anel (eixo ), a uma distância do centro do anel. Aqui pode ser positivo ou negativo, e consideraremos a posição medida do centro do anel. - Pedidos:
(a) Calcular o campo elétricono ponto onde está a carga (ou seja, o campo sobre );
(b) Assumindo, mostrar que o movimento da massa é um MHS e calcular a frequência (angular) do movimento. A sugestão pede calcular a componente da força elétrica sobre a partícula e identificar uma forma .
Observações importantes (dados úteis que usarei):
- Carga total do anel:
. - Constante eletrostática:
.
Passo 2
Cálculo do campo elétrico no eixo do anel (derivação passo a passo, didática):
Imagine um elemento de comprimento do anel correspondente a um ângulo
. Esse elemento tem carga
A distância do elemento ao ponto sobre o eixo a uma distância
do centro é
O módulo do campo elétrico gerado por
naquele ponto é, pela lei de Coulomb,
Esse campo aponta a partir do elemento radialmente; só a componente ao longo do eixo
se soma (as componentes transversais se cancelam por simetria). O cosseno do ângulo entre a reta que liga
ao ponto e o eixo
é
Portanto a componente axial (componente
) de
é
Agora integramos
ao longo do anel:
somando ao redor do anel dá a carga total
. Assim
Substituindo
e
, obtemos a expressão final do campo na direção do eixo:
Direção: se
e
,
aponta no sentido positivo de
(isto é, para fora do anel); se
aponta para o lado negativo. Observe que esta é a expressão do campo devido ao anel — a força sobre a partícula depende também do sinal da carga da partícula.
Passo 3
Força elétrica sobre a partícula e seu sinal (para ver se é restauradora):
A partícula tem carga
. A força elétrica é
Substituindo
da etapa anterior:
Podemos escrever isso como
O sinal negativo mostra que, para
, a força sobre a carga
aponta no sentido de
reduzido (isto é, para o centro
) — é uma força restauradora quando a partícula é deslocada do centro.
Passo 4
Aproximação para
(mostrar forma linear e identificar a constante
):
Quando
podemos expandir a dependência em
. Note que
Para pequenos
a série de binômio dá
. Como o numerador já tem um fator
, a expansão até ordem linear em
é simplesmente
Substituindo isso em
obtemos, até primeira ordem em
,
Portanto a força tem a forma
com a constante
Isto mostra que a força é linear em
e apontando para o centro: condição necessária para MHS.
Passo 5
Equação do movimento e frequência do MHS (derivação da frequência):
A equação da 2ª lei de Newton ao longo do eixo
é
Isto é a equação do oscilador harmônico simples padrão:
Logo a frequência angular
do MHS é
e substituindo
,
Se desejar o período
,
Passo 6
Resumo físico e verificação rápida:
- O campo no eixo devido ao anel é linear em
para pequenos deslocamentos; a força sobre a carga negativa é restauradora (sinal ), portanto oscilações pequenas são harmônicas. - A constante
depende linearmente de e e decai com . - Tudo que foi usado é expansão até ordem linear em
, válida porque .
Resposta
(a)
(b)