Duas cargas pontuais (diâmetro das esferas d \ll a ) de valor -q estão colocadas sobre o eixo x conforme Uma partícula de massa M e carga -Q está disposta à uma distância x sobre o eixo perpendicular à linha que passa pelo centro de uma anel de raio R , carregado com uma densidade de carga linear +L .
Calcule:
a) O campo elétrico \stackrel{\ddot{E}}{E} sobre -Qq. (0,5)
b) Assumindo que x \ll \mathrm{R}, mostre que o movimento de M é um MHS e calcule sua frequência( 1,0 ). (Sugestão: Calcule a componente x da força elétrica sobre +Q. Para mostrar que o movimento é um MHS lembre-se de verificar que F_{x}=-C . x em que C é uma constante. Você deve calcular esta constante.)

Passo 1

O enunciado e os dados (organizando tudo claramente):
  • Há um anel de raio R com densidade linear de carga positiva +\lambda. O anel está no plano yz (centro na origem).
  • Uma partícula de massa M e carga -Q está colocada sobre o eixo perpendicular ao plano do anel (eixo x), a uma distância x do centro do anel. Aqui x pode ser positivo ou negativo, e consideraremos a posição x medida do centro do anel.
  • Pedidos:
    (a) Calcular o campo elétrico \mathbf{E} no ponto onde está a carga -Q (ou seja, o campo sobre -Q);
    (b) Assumindo x \ll R, mostrar que o movimento da massa M é um MHS e calcular a frequência (angular) do movimento. A sugestão pede calcular a componente x da força elétrica sobre a partícula e identificar uma forma F_x = -C x.
Observações importantes (dados úteis que usarei):
  • Carga total do anel: Q_{\text{anel}}=\lambda\cdot(2\pi R).
  • Constante eletrostática: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

Passo 2

Cálculo do campo elétrico no eixo do anel (derivação passo a passo, didática):
Imagine um elemento de comprimento do anel correspondente a um ângulo d\varphi. Esse elemento tem carga
dq=\lambda\,(R\,d\varphi).
A distância do elemento ao ponto sobre o eixo a uma distância x do centro é
r=\sqrt{R^{2}+x^{2}}.
O módulo do campo elétrico gerado por dq naquele ponto é, pela lei de Coulomb,
dE=\dfrac{k\,dq}{r^{2}}.
Esse campo aponta a partir do elemento radialmente; só a componente ao longo do eixo x se soma (as componentes transversais se cancelam por simetria). O cosseno do ângulo entre a reta que liga dq ao ponto e o eixo x é
\cos\theta=\dfrac{x}{r}.
Portanto a componente axial (componente x) de dE é
dE_x=dE\cos\theta=\dfrac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\dfrac{x}{r}=\dfrac{k\,dq\;x}{r^{3}}.
Agora integramos dE_x ao longo do anel: dq somando ao redor do anel dá a carga total Q_{\text{anel}}=\lambda\,2\pi R. Assim
E_x=\int dE_x=\dfrac{k\,x}{r^{3}}\int dq =\dfrac{k\,x}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}\,Q_{\text{anel}}.
Substituindo Q_{\text{anel}}=\lambda\,2\pi R e k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, obtemos a expressão final do campo na direção do eixo:
\boxed{\,E_x=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{(\lambda\,2\pi R)\,x}{\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}}\,}
Direção: se \lambda>0 e x>0, \mathbf{E} aponta no sentido positivo de x (isto é, para fora do anel); se x<0 aponta para o lado negativo. Observe que esta é a expressão do campo devido ao anel — a força sobre a partícula depende também do sinal da carga da partícula.

Passo 3

Força elétrica sobre a partícula e seu sinal (para ver se é restauradora):
A partícula tem carga -Q. A força elétrica é
F_x = q_{\text{partícula}}\,E_x = (-Q)\,E_x.í
Substituindo E_x da etapa anterior:
F_x = -Q\left(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{(\lambda\,2\pi R)\,x}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}\right).
Podemos escrever isso como
\boxed{\,F_x = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2\pi\lambda Q\,R\,x}{\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}}\,.}
O sinal negativo mostra que, para \lambda>0, a força sobre a carga -Q aponta no sentido de x reduzido (isto é, para o centro x=0) — é uma força restauradora quando a partícula é deslocada do centro.

Passo 4

Aproximação para x\ll R (mostrar forma linear e identificar a constante C):
Quando x\ll R podemos expandir a dependência em x. Note que
(R^{2}+x^{2})^{3/2}=R^{3}\left(1+\dfrac{x^{2}}{R^{2}}\right)^{3/2}.
Para pequenos x/R a série de binômio dá \left(1+\dfrac{x^{2}}{R^{2}}\right)^{-3/2}\approx 1+\mathcal{O}\!\left(\dfrac{x^{2}}{R^{2}}\right). Como o numerador já tem um fator x, a expansão até ordem linear em x é simplesmente
\dfrac{x}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}\approx \dfrac{x}{R^{3}} \quad\text{(para \(x\ll R\))}.
Substituindo isso em F_x obtemos, até primeira ordem em x,
F_x \approx -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2\pi\lambda Q\,R}{R^{3}}\,x = -\left(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2\pi\lambda Q}{R^{2}}\right)x.
Portanto a força tem a forma
F_x = -C\,x
com a constante
\boxed{\,C=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2\pi\lambda Q}{R^{2}}\,.}
Isto mostra que a força é linear em x e apontando para o centro: condição necessária para MHS.

Passo 5

Equação do movimento e frequência do MHS (derivação da frequência):
A equação da 2ª lei de Newton ao longo do eixo x é
M\,\ddot{x}=F_x=-C\,x.
Isto é a equação do oscilador harmônico simples padrão:
\ddot{x}+\dfrac{C}{M}\,x=0.
Logo a frequência angular \omega do MHS é
\omega=\sqrt{\dfrac{C}{M}}
e substituindo C,
\boxed{\,\omega=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2\pi\lambda Q}{M\,R^{2}}}\,.}
Se desejar o período T,
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{M\,R^{2}}{(1/4\pi\varepsilon_0)\,2\pi\lambda Q}}.

Passo 6

Resumo físico e verificação rápida:
  • O campo no eixo devido ao anel é linear em x para pequenos deslocamentos; a força sobre a carga negativa é restauradora (sinal -), portanto oscilações pequenas são harmônicas.
  • A constante C depende linearmente de \lambda e Q e decai com R^{2}.
  • Tudo que foi usado é expansão até ordem linear em x, válida porque x\ll R.

Resposta

(a) \displaystyle E_x=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{(\lambda\,2\pi R)\,x}{\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}}
(b) \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2\pi\lambda Q}{M\,R^{2}}}

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