a) Considere uma caixa retangular de dimensões \mathbf{D} e \mathbf{d} e, no interior da qual está colocada uma carga Q. Determine, usando a lei de Gauss qual é o fluxo total do campo elétrico na superficie desta caixa. Suponha que a carga Q está exatamente no centro do cubo, determine em termos de d e D o percentual deste fluxo nas arestas menores. (1,5)
b) E se a carga não estiver no centro, indique com argumentos baseados nas leis de Gauss e de Coulomb, como o fluxo em cada face mudaria. (1,5)

Passo 1

O enunciado e os dados (o que é pedido):
  • Há uma caixa retangular (paralelepípedo) com duas dimensões iguais D e a terceira dimensão d. Ou seja, as arestas têm comprimentos D,D,d.
  • No interior desta caixa está uma carga pontual Q.
  • Parte (a): supondo que a carga Q está exatamente no centro da caixa, determinar o fluxo total do campo elétrico na superfície da caixa (valor numérico em termos de Q e \varepsilon_0) e, em seguida, expressar em termos de d e D o percentual do fluxo que sai pelas faces menores (as quatro faces laterais de área D\times d).
  • Parte (b): se a carga não estiver no centro, explicar, com argumentos baseados nas leis de Gauss e de Coulomb, como o fluxo em cada face mudaria (ou seja, o que acontece com a distribuição do fluxo entre as faces).
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A caixa tem 6 faces: 2 faces de área D\times D (topo e fundo) e 4 faces de área D\times d (laterais). As “arestas menores” mencionadas serão interpretadas como as faces menores de área D\times d.
  • Não há outras cargas externas: a única carga dentro da superfície é Q.

Passo 2

Lembrete/ferramenta principal: Lei de Gauss e fluxo elétrico
  • A lei de Gauss para eletricidade afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve todas as cargas internas é
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q_{\text{interno}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \Phi_{\text{total}} é o fluxo total do campo elétrico \mathbf{E} através de toda a superfície fechada, Q_{\text{interno}} é a carga total contida no interior e \varepsilon_0 é a constante dielétrica do vácuo.
  • Definição de fluxo por face: o fluxo através de uma face qualquer é
\Phi_{\text{face}}=\iint_{\text{face}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
  • Relação com ângulo sólido: para uma carga puntiforme Q em algum ponto dentro de uma superfície fechada, o fluxo através de uma face pode ser expresso em termos do ângulo sólido \Omega que essa face subtende vista da carga:
\Phi_{\text{face}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\Omega_{\text{face}}}{4\pi},
porque o total do ângulo sólido ao redor de um ponto é 4\pi e a distribuição do fluxo segue o ângulo sólido (linhas de campo). Essa é uma forma prática de usar Gauss quando a geometria é construída a partir de faces planas vistas de um ponto.

Passo 3

Situação da parte (a): carga no centro — simetrias e consequência imediata
  • Se a carga Q está exatamente no centro da caixa, por simetria as duas faces opostas iguais recebem o mesmo fluxo; as quatro faces laterais (iguais entre si) recebem igualmente o mesmo fluxo entre elas. Portanto basta calcular o fluxo por uma face lateral e por uma face de topo, ou calcular o ângulo sólido \Omega de uma face de cada tipo.
  • Pelo argumento do passo anterior, o fluxo total é
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • A fração do fluxo que passa por uma face é \Omega_{\text{face}}/(4\pi). Como há duas faces grandes iguais (topo e fundo) e quatro faces pequenas iguais (laterais), denotando \Omega_{\text{big}} o ângulo sólido de uma face D\times D e \Omega_{\text{small}} o ângulo sólido de uma face D\times d, vale
2\Omega_{\text{big}}+4\Omega_{\text{small}}=4\pi.
  • Queremos o percentual do fluxo que sai pelas quatro faces menores (todas juntas). Esse percentual (em %) é
\text{percentual} = 100\%\times\frac{4\Phi_{\text{small}}}{\Phi_{\text{total}}} =100\%\times\frac{4\left(\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\dfrac{\Omega_{\text{small}}}{4\pi}\right)}{\dfrac{Q}{\varepsilon_0}} =100\%\times\frac{4\Omega_{\text{small}}}{4\pi} =100\%\times\frac{\Omega_{\text{small}}}{\pi}.
Logo é suficiente obter \Omega_{\text{small}} em função de D e d.

Passo 4

Cálculo do ângulo sólido subtendido por um retângulo visto do seu centro a uma distância (fórmula utilizada)
  • Fórmula conhecida e muito útil: o ângulo sólido \Omega subtendido por um retângulo centrado no eixo z, com meio-largura a no x e meio-altura b no y, visto a partir da origem (ponto na frente do centro do retângulo a distância z ao longo do eixo normal) é
\Omega = 4\arctan\!\left(\frac{ab}{z\sqrt{z^2+a^2+b^2}}\right).
Explicação rápida da fórmula (intuição): a fórmula vem da soma dos quatro ângulos subtendidos pelos quadrantes do retângulo; o argumento da arctan é adimensional e combina as dimensões laterais a,b e a distância z. Não é necessário derivá-la aqui, basta aplicá-la corretamente às faces.

Passo 5

Aplicação da fórmula às faces da caixa (carga no centro)
  • Para a face de topo (uma face D\times D): a face está a uma distância z=\dfrac{d}{2} do centro da caixa; os “meio-lados” são a=b=\dfrac{D}{2}. Substituindo na fórmula:
\Omega_{\text{big}}=4\arctan\!\left(\frac{\left(\dfrac{D}{2}\right)\left(\dfrac{D}{2}\right)}{\dfrac{d}{2}\sqrt{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2}}\right).
Simplificando passo a passo (mostrar cálculo):
\frac{\left(\dfrac{D}{2}\right)\left(\dfrac{D}{2}\right)}{\dfrac{d}{2}}=\frac{D^2}{4}\cdot\frac{2}{d}=\frac{D^2}{2d}, \qquad \sqrt{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{d^2+2D^2}.
Portanto
\Omega_{\text{big}}=4\arctan\!\left(\frac{D^2/(2d)}{(1/2)\sqrt{d^2+2D^2}}\right) =4\arctan\!\left(\frac{D^2}{d\sqrt{d^2+2D^2}}\right).
  • Para uma face lateral (uma face D\times d): ela está a uma distância z=\dfrac{D}{2} do centro; os meio-lados são a=\dfrac{D}{2} (na direção vertical da face) e b=\dfrac{d}{2} (na direção do eixo normal ao topo). Substituindo:
\Omega_{\text{small}}=4\arctan\!\left(\frac{\left(\dfrac{D}{2}\right)\left(\dfrac{d}{2}\right)}{\dfrac{D}{2}\sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}}\right).
Simplificando:
\frac{\left(\dfrac{D}{2}\right)\left(\dfrac{d}{2}\right)}{\dfrac{D}{2}}=\frac{Dd}{4}\cdot\frac{2}{D}=\frac{d}{2}, \qquad \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2D^2+d^2}.
Logo
\Omega_{\text{small}}=4\arctan\!\left(\frac{d/2}{(1/2)\sqrt{2D^2+d^2}}\right) =4\arctan\!\left(\frac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\right).

Passo 6

Percentual do fluxo que sai pelas quatro faces menores
  • A fração do fluxo pelas quatro faces pequenas é (ver passo 3)
\frac{4\Omega_{\text{small}}}{4\pi}=\frac{\Omega_{\text{small}}}{\pi}.
Substituindo \Omega_{\text{small}} do passo anterior:
\text{percentual} = 100\%\times\frac{\Omega_{\text{small}}}{\pi} =100\%\times\frac{4}{\pi}\arctan\!\left(\frac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\right).
Portanto, em termos de d e D, o percentual do fluxo que sai pelas quatro faces menores é
\boxed{100\%\cdot\frac{4}{\pi}\arctan\!\left(\dfrac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\right).}
(Nota: cada face lateral individual recebe 100\%\cdot\dfrac{1}{\pi}\cdot 4\arctan\!\left(\dfrac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\right) dividido por 4, isto é 100\%\cdot\dfrac{1}{\pi}\arctan\!\left(\dfrac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\right).)

Passo 7

Resumo do resultado prático para a parte (a) e confirmação do fluxo total
  • Fluxo total pela superfície (pela lei de Gauss) é
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Fluxo pelas quatro faces menores (juntas) é
\Phi_{\text{4 small}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\cdot\frac{4\Omega_{\text{small}}}{4\pi} =\frac{Q}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\Omega_{\text{small}}}{\pi},
com \Omega_{\text{small}}=4\arctan\!\Big(\dfrac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\Big), o que dá o percentual indicado no passo anterior.

Passo 8

Parte (b) — carga fora do centro: argumentos qualitativos com base em Gauss e Coulomb (e sólidos)
  • A lei de Gauss garante uma coisa poderosa e simples: independentemente da posição da carga dentro da superfície fechada, o fluxo total através da superfície sempre será
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isso NÃO muda se a carga se deslocar dentro da caixa.
  • O que muda quando a carga sai do centro é a distribuição do fluxo entre as faces. Razões e argumentos:
    • Pela interpretação em ângulo sólido: o fluxo através de cada face é proporcional ao ângulo sólido que essa face subtende, visto da posição da carga:
    \Phi_{\text{face}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\Omega_{\text{face}}}{4\pi}.Se a carga se desloca em direção a uma face, essa face passa a subtender um ângulo sólido maior — portanto \Omega_{\text{face}} aumenta e, consequentemente, \Phi_{\text{face}} aumenta. Ao mesmo tempo, faces opostas e faces laterais subtendem ângulos menores, de modo que seus fluxos diminuem; a soma continua sendo Q/\varepsilon_0.
    • Pelo ponto de vista do campo de Coulomb: o campo de uma carga pontual decai como 1/r^2. Quando a carga aproxima-se de uma face, as partes dessa face ficam mais próximas da carga e recebem um campo normal maior, aumentando a integral \iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} naquela face.
  • Limites e exemplos intuitivos:
    • Se a carga se aproximar muito de uma face (mas ainda dentro da caixa), a maior parte do fluxo sairá por essa face; num limite em que a carga toca a face, a física idealizada mostra que metade do fluxo pode passar para um lado (depende de como é feito o limite), mas o essencial: a face mais próxima recebe uma fração crescente do total quando a carga se aproxima dela.
    • Se a carga estiver exatamente sobre o plano que divide a caixa em duas metades simétricas, a distribuição de fluxos refletirá essa nova simetria (algumas faces podem receber fluxos iguais se a posição da carga gerar simetrias).
  • Conclusão prática para (b): a posição da carga controla os ângulos sólidos \Omega_{\text{face}}. A lei de Gauss fixa apenas o total; a lei de Coulomb + geometria (ângulo sólido) explica por que as faces mais próximas recebem mais fluxo e as mais distantes menos. Para calcular quantitativamente em qualquer posição é suficiente calcular os ângulos sólidos das faces vistos da posição da carga e usar
\Phi_{\text{face}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\Omega_{\text{face}}}{4\pi}.

Resposta

(a) \Phi_{\text{total}}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}. O percentual do fluxo que sai pelas quatro faces menores é
100\%\cdot\dfrac{4}{\pi}\arctan\!\left(\dfrac{d}{\sqrt{2D^2+d^2}}\right).
(b) O fluxo total permanece \dfrac{Q}{\varepsilon_0}, mas a distribuição entre as faces muda: as faces mais próximas da carga passam a subtender ângulos sólidos maiores e, portanto, recebem fração maior do fluxo. Em geral
\Phi_{\text{face}}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\cdot\dfrac{\Omega_{\text{face}}}{4\pi},
onde \Omega_{\text{face}} depende da posição da carga (mais perto ⇒ \Omega_{\text{face}} maior ⇒ mais fluxo).

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