Duas cargas pontuais positivas, cada uma com intensidade q, estão fixas no eixo y nos pontos y=a e y=-a. (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico na origem do sistema de coordenadas. (b) Mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo x é V(x, y)=2 q / 4 pi epsilon0 raizx^2+a^2. © Esboce o gráfico do potencial elétrico em função da coordenada x para -5 a <= x <=+5 a. (d) Para qual valor de x o potencial elétrico é
a metade do valor produzido na origem? (e) Calcule a intensidade do campo elétrico com o resultado do item (b).
Resposta: (a) V=2 q / 4 pi epsilon0 a (d) x= pm raiz3 a (e)

Passo 1

O enunciado descreve duas cargas pontuais positivas, cada uma com intensidade q, fixas nos pontos (0,a) e (0,−a) do eixo y. O conteúdo da matéria é potencial eletrostático de cargas pontuais. Vamos usar a fórmula do potencial de uma carga pontual,
V=14piepsilon0qr
e somar as contribuições das duas cargas para diversos pontos.

Passo 2

Para calcular o potencial na origem, note que a distância de cada carga até a origem é r=a. Então cada carga produz
V1=V2=14piepsilon0qa
Somando as duas:
V(0,0)=214piepsilon0qa=2q4piepsilon0 a

Passo 3

Para obter o potencial ao longo do eixo x, a distância de cada carga até um ponto (x,0) é
r=raizx^2+a^2
Assim, somando as duas cargas:
V(x,0)=214piepsilon0qraizx^2+a^2=2q4piepsilon0raizx^2+a^2

Passo 4

O gráfico de V(x,0) para −5a≤x≤5a é uma curva simétrica (função par), com máximo em x=0 e decaindo conforme 1/\sqrt{x2+a2}. Faria um “U” achatado nos lados e pico em x=0 com valor V(0)=2q/(4πε_0 a).

Passo 5

Para achar x tal que V(x)=V(0)/2, igualamos:
2q4piepsilon0raizx^2+a^2=122q4piepsilon0 a
Cancelando fatores:
2raizx^2+a^2=1aimpliesraizx^2+a^2=2aimplies x^2=3a^2implies x=pmraiz3,a

Passo 6

Para o campo elétrico em x usamos
Ex=-dVdx,
da expressão
$$V(x)=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}(x2+a2)^{-1/2}.
V(x)=2q4piepsilon0(x^2+a^2)^-1/2 \frac{dV}{dx}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)2x(x2+a2){-3/2}=-\frac{2q,x}{4\pi\epsilon_0(x2+a2){3/2}}.
dVdx=2q4piepsilon0l(-tfrac12r)2x(x^2+a^2)^-3/2=-2q,x4piepsilon0(x^2+a^2)^3/2 E_x=-\frac{dV}{dx}=\frac{2q,x}{4\pi\epsilon_0(x2+a2)^{3/2}}.$$

Resposta

(a) V(0,0)=tfrac2q4piepsilon0 a
(d) x=pmraiz3,a
(e) E(x)=tfrac2q,x4piepsilon0,(x^2+a^2)^3/2

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