Duas cargas pontuais Q e Q estão em (0, d / 2,0) e (0,-d / 2,0). Demonstre que a intensidade do potencial elétrico no ponto ( \rho, \vartheta, \varphi ) para r d é V=Q d \sin \vartheta \sin \varphi / 4 \pi \epsilon_{0} r^{2}. Calcule a intensidade do campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais localizadas em coordenadas cartesianas: uma em (0,d/2,0) e outra em (0,-d/2,0). Pede para demonstrar que, no ponto de coordenadas esféricas (r,\vartheta,\varphi) para r\gg d, o potencial elétrico vale
V=\frac{Q d \sin\vartheta \sin\varphi}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}},
e, em seguida, calcular o campo elétrico.
Observação necessária (interpretativa): o resultado pedido é o de um dipolo; portanto vou tomar as cargas como de sinais opostos, isto é, \, +Q em (0,d/2,0) e \,-Q em (0,-d/2,0). Essa escolha faz com que o momento de dipolo não nulo seja \mathbf{p}=Qd\,\hat{\mathbf{y}}, compatível com o resultado pedido. Não vou pedir confirmação — sigo com essa interpretação para deduzir o potencial e o campo.

Passo 2

Escrevendo o potencial total como soma dos potenciais das duas cargas puntuais. A expressão geral do potencial devido a uma carga q em \mathbf{r}' no ponto \mathbf{r} é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}.
Aqui as posições das cargas (vetores) são \mathbf{r}_{+}=(0,d/2,0) para +Q e \mathbf{r}_{-}=(0,-d/2,0) para -Q. Logo o potencial total é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{+Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}|}+\frac{-Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}|}\right).
Neste passo estamos apenas escrevendo a soma; a conta e a aproximação começam no passo seguinte.

Passo 3

Explicando a aproximação para r\gg d. Seja \mathbf{r} o vetor que vai da origem ao ponto de observação (módulo r=|\mathbf{r}|) e \mathbf{r}' um vetor pequeno (posição da carga relativa à origem, de módulo da ordem de d/2). Usamos a expansão em série de Taylor para
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}.
A primeira ordem dessa expansão (para |\mathbf{r}'|\ll r) é
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}'\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{|\mathbf{r}'|^{2}}{r^{3}}\right),
onde \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor radial. Vou explicar por que: escrevemos |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|=r\sqrt{1-2(\mathbf{r}'\cdot\hat{\mathbf{r}})/r + |\mathbf{r}'|^{2}/r^{2}} e aplicamos a expansão binomial (1+\epsilon)^{-1/2}\approx 1-\tfrac{1}{2}\epsilon até ordem linear em \mathbf{r}'/r. Assim aparece o termo 1/r (monopolo) e o termo proporcional a \mathbf{r}'\cdot\hat{\mathbf{r}}/r^{2} (dipolo).

Passo 4

Aplicando a expansão às distâncias das duas cargas. Para a carga em \mathbf{r}_{+} usamos \mathbf{r}'=\mathbf{r}_{+} e para a carga em \mathbf{r}_{-} usamos \mathbf{r}'=\mathbf{r}_{-}. Então, até ordem linear em d/r,
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}|}\approx\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}_{+}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}, \qquad \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}|}\approx\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}_{-}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
Substituindo na soma do passo 2:
V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigg[Q\Big(\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}_{+}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\Big)-Q\Big(\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}_{-}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\Big)\Bigg].

Passo 5

Simplificando os termos e observando o cancelamento do monopolo. Na expressão acima os termos Q\cdot\frac{1}{r} e -Q\cdot\frac{1}{r} se cancelam, porque a carga total é +Q+(-Q)=0. Então resta apenas o termo de primeira ordem (dipolo):
V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\big(\mathbf{r}_{+}-\mathbf{r}_{-}\big)\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
Definimos o momento de dipolo como o vetor
\mathbf{p}=Q\big(\mathbf{r}_{+}-\mathbf{r}_{-}\big).
No nosso caso \mathbf{r}_{+}-\mathbf{r}_{-}=(0,d,0), logo
\mathbf{p}=Qd\,\hat{\mathbf{y}}.
Portanto, a forma geral do potencial dipolar (primeira ordem) é
V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.

Passo 6

Agora escrevemos \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}} em coordenadas esféricas. O versor radial em coordenadas esféricas padrão é
\hat{\mathbf{r}}=(\sin\vartheta\cos\varphi)\,\hat{\mathbf{x}}+(\sin\vartheta\sin\varphi)\,\hat{\mathbf{y}}+(\cos\vartheta)\,\hat{\mathbf{z}}.
Como \mathbf{p}=Qd\,\hat{\mathbf{y}}, o produto escalar é
\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=Qd\;(\hat{\mathbf{y}}\cdot\hat{\mathbf{r}})=Qd\,\sin\vartheta\sin\varphi.
Substituindo isso na expressão do passo 5, obtemos exatamente
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Qd\,\sin\vartheta\sin\varphi}{r^{2}},
válido para r\gg d. Isso demonstra a fórmula pedida.

Passo 7

Agora calculamos o campo elétrico \mathbf{E}. Lembrando que
\mathbf{E}=-\nabla V,
e que existe uma forma vetorial conhecida para o campo de um dipolo pontual (válida para r\gg d):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left[\frac{3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{r^{3}}\right].
Vou justificar rapidamente essa forma: aplicar -\nabla em V=(1/4\pi\epsilon_0)(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})/r^{2} leva, com contas de derivadas em coordenadas cartesianas ou usando identidades vetoriais, à expressão acima. Como a derivação direta do gradiente é um pouco longa, aceitamos esta identidade padrão (muito usada em eletrostática) — é uma consequência direta de expandir a soma dos potenciais e calcular o gradiente.

Passo 8

Substituímos \mathbf{p}=Qd\,\hat{\mathbf{y}} e \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=Qd\sin\vartheta\sin\varphi na fórmula do passo 7:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}\Big[3\sin\vartheta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\hat{\mathbf{y}}\Big].
Para escrever \mathbf{E} em componentes esféricas (nos versores \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\vartheta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}) podemos decompor \hat{\mathbf{y}} nessas bases. A identidade de decomposição é
\hat{\mathbf{y}}=\sin\vartheta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}+\cos\vartheta\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\vartheta}}+\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Substituindo:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}\Big[3\sin\vartheta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\big(\sin\vartheta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}+\cos\vartheta\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\vartheta}}+\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\big)\Big].
Agrupando termos:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}\Big[2\sin\vartheta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\cos\vartheta\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\vartheta}}-\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\Big].

Resposta

V=\frac{Qd\sin\vartheta\sin\varphi}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}}
\mathbf{E}=\frac{Qd}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}\Big[2\sin\vartheta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\cos\vartheta\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\vartheta}}-\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\Big]

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