Duas cargas pontuais
e
estão em
e
. Demonstre que a intensidade do potencial elétrico no ponto (
) para
é
. Calcule a intensidade do campo elétrico.
Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais localizadas em coordenadas cartesianas: uma em
e outra em
. Pede para demonstrar que, no ponto de coordenadas esféricas
para
, o potencial elétrico vale
e, em seguida, calcular o campo elétrico.
Observação necessária (interpretativa): o resultado pedido é o de um dipolo; portanto vou tomar as cargas como de sinais opostos, isto é, em
e
em
. Essa escolha faz com que o momento de dipolo não nulo seja
, compatível com o resultado pedido. Não vou pedir confirmação — sigo com essa interpretação para deduzir o potencial e o campo.
Observação necessária (interpretativa): o resultado pedido é o de um dipolo; portanto vou tomar as cargas como de sinais opostos, isto é,
Passo 2
Escrevendo o potencial total como soma dos potenciais das duas cargas puntuais. A expressão geral do potencial devido a uma carga
em
no ponto
é
Aqui as posições das cargas (vetores) são
para
e
para
. Logo o potencial total é
Neste passo estamos apenas escrevendo a soma; a conta e a aproximação começam no passo seguinte.
Passo 3
Explicando a aproximação para
. Seja
o vetor que vai da origem ao ponto de observação (módulo
) e
um vetor pequeno (posição da carga relativa à origem, de módulo da ordem de
). Usamos a expansão em série de Taylor para
A primeira ordem dessa expansão (para
) é
onde
é o versor radial. Vou explicar por que: escrevemos
e aplicamos a expansão binomial
até ordem linear em
. Assim aparece o termo
(monopolo) e o termo proporcional a
(dipolo).
Passo 4
Aplicando a expansão às distâncias das duas cargas. Para a carga em
usamos
e para a carga em
usamos
. Então, até ordem linear em
,
Substituindo na soma do passo 2:
Passo 5
Simplificando os termos e observando o cancelamento do monopolo. Na expressão acima os termos
e
se cancelam, porque a carga total é
. Então resta apenas o termo de primeira ordem (dipolo):
Definimos o momento de dipolo como o vetor
No nosso caso
, logo
Portanto, a forma geral do potencial dipolar (primeira ordem) é
Passo 6
Agora escrevemos
em coordenadas esféricas. O versor radial em coordenadas esféricas padrão é
Como
, o produto escalar é
Substituindo isso na expressão do passo 5, obtemos exatamente
válido para
. Isso demonstra a fórmula pedida.
Passo 7
Agora calculamos o campo elétrico
. Lembrando que
e que existe uma forma vetorial conhecida para o campo de um dipolo pontual (válida para
):
Vou justificar rapidamente essa forma: aplicar
em
leva, com contas de derivadas em coordenadas cartesianas ou usando identidades vetoriais, à expressão acima. Como a derivação direta do gradiente é um pouco longa, aceitamos esta identidade padrão (muito usada em eletrostática) — é uma consequência direta de expandir a soma dos potenciais e calcular o gradiente.
Passo 8
Substituímos
e
na fórmula do passo 7:
Para escrever
em componentes esféricas (nos versores
) podemos decompor
nessas bases. A identidade de decomposição é
Substituindo:
Agrupando termos: