Elaborar todos os passos da primeira interação do método de Newton.

Passo 1

O enunciado pede que eu elabore todos os passos da primeira iteração do método de Newton. Ou seja: mostrar, passo a passo, como se obtém a aproximação inicial à raiz após aplicar o método uma vez a partir de uma estimativa inicial. \n
Informações relevantes (as que o método precisa): \n
  • Uma função diferenciável f definida num intervalo que contém a estimativa inicial. \n
  • Uma estimativa inicial para a raiz, denotada por x_0. \n
  • Pressuposto implícito: podemos calcular f(x_0) e f'(x_0) (a derivada em x_0). \n
    Nada mais foi dado; a resolução abaixo explicará o que fazer com esses dados para obter a primeira iteração x_1.

Passo 2

Intuição: queremos aproximar uma raiz da equação f(x)=0. Se estamos em x_0 e conhecemos f(x_0) e f'(x_0), a ideia do método de Newton é aproximar a curva y=f(x) por sua reta tangente em x_0 e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. \n
Para formalizar isso usamos a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) em torno de x_0: \n
f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0).
Aqui: \n
  • f(x) é o valor da função no ponto genérico x. \n
  • f(x_0) é o valor conhecido da função na estimativa atual. \n
  • f'(x_0) é a derivada (a inclinação) da função em x_0. \n
  • O termo x-x_0 é o pequeno deslocamento que procuramos. \n
    Essa fórmula diz: perto de x_0, a função comporta-se aproximadamente como uma reta com intercepto f(x_0) e inclinação f'(x_0).

Passo 3

Agora, para encontrar a aproximação da raiz a partir da reta tangente, colocamos a aproximação linear igual a zero (porque uma raíz de f satisfaz f(x)=0). Assim: \n
0 \approx f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0).
Resolvendo essa equação para x (o ponto onde a reta tangente cruza o eixo x) fazemos álgebra simples: \n
f'(x_0)\,(x-x_0) \approx -f(x_0),\n
x - x_0 \approx -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)},\n
x \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.
Denotamos essa nova aproximação por x_1. Então obtemos a fórmula da primeira iteração: \n
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.

Passo 4

Explicando a fórmula e as condições: \n
  • A expressão \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} é a correção que subtraímos de x_0. Se f(x_0) tem sinal positivo, subtraímos; se é negativo, somamos. \n
  • É imprescindível que f'(x_0)\neq 0. Se f'(x_0)=0 a reta tangente é horizontal e ela pode não cruzar o eixo x de modo útil (ou a fórmula dá divisão por zero). \n
  • Essa é uma aproximação; ela assume que a reta tangente é uma boa aproximação da curva perto de x_0. Quanto mais próxima a estimativa inicial x_0 estiver da raiz verdadeira e quanto mais “bem-comportada” for f (derivada não muito pequena e f suave), melhor será x_1.

Passo 5

Interpretação geométrica passo a passo (para visualizar na prova): \n
  • No plano, desenhe o ponto (x_0, f(x_0)). \n
  • A reta tangente em (x_0,f(x_0)) tem equação (forma ponto-inclinação): \n
y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0).
  • O ponto onde essa reta cruza o eixo x tem y=0. Substituindo y=0 e resolvendo para x dá exatamente \displaystyle x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}. \n
    Logo, x_1 é a abscissa dessa interseção: é a estimativa obtida geometricamente pela tangente.

Passo 6

Receita prática (checklist) para calcular x_1 em prova sem calculadora: \n
  1. Calcule f(x_0). Escreva com cuidado os números/fracionários. \n
  2. Calcule f'(x_0). Novamente, calcule exatamente (ou simplifique). \n
  3. Forme a fração \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}. Reduza se possível. \n
  4. Subtraia do x_0: x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}. \n
  5. Verifique: se f'(x_0) ficou muito pequeno, a correção pode ser grande — sinal de cuidado. \n
    Faça esses passos devagar e mostre cada operação no papel da prova; isso ajuda a evitar erros aritméticos.

Passo 7

Exemplo numérico completo (isso é útil para fixar): \n
Escolha \,f(x)=x^2-2 e x_0=1. A raiz verdadeira positiva é \sqrt{2}\approx1,414\ldots, mas vamos ver a primeira iteração. \n
  1. Calcule f(x_0): f(1)=1^2-2=-1.\n
  2. Calcule f'(x): f'(x)=2x, logo f'(1)=2\cdot 1=2.\n
  3. Forme a correção: \frac{f(1)}{f'(1)}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.\n
  4. Subtraia de x_0: x_1 = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.\n
Interpretação: partindo de 1 o método de Newton nos dá x_1=1{,}5, que já está mais próximo de \sqrt{2}.

Passo 8

Exemplo de problema que pode ocorrer (atenção na prova): \n
Se escolhermos, por exemplo, f(x)=x^3 e x_0=0, então f(0)=0,\quad f'(x)=3x^2,\quad f'(0)=0.
Aqui f'(0)=0 e a fórmula \displaystyle x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} dá divisão por zero (ou indeterminação). Na prática, isso significa que a tangente é horizontal e não fornece um bom deslocamento. Então sempre verifique f'(x_0)\neq0 antes de aplicar a fórmula.

Passo 9

Observações sobre uso na prova e dicas finais: \n
  • Mostre os cálculos de f(x_0) e f'(x_0) separadamente; isso facilita conferir erros. \n
  • Se a expressão ficar com frações, mantenha exatidão (frações) até o fim e só approximar se pedirem uma aproximação numérica. \n
  • Lembre-se: a primeira iteração é apenas o primeiro passo; o procedimento completo repete a mesma fórmula trocando x_0 por x_1 para obter x_2, e assim por diante. \n
  • Pequeno incentivo: faça a primeira iteração devagar — entender bem esse passo facilita repetir o processo nas próximas iterações.

Resposta

x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}

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