Elaborar todos os passos da primeira interação do método de Newton.
Passo 1
O enunciado pede que eu elabore todos os passos da primeira iteração do método de Newton. Ou seja: mostrar, passo a passo, como se obtém a aproximação inicial à raiz após aplicar o método uma vez a partir de uma estimativa inicial. \n
Informações relevantes (as que o método precisa): \n
Informações relevantes (as que o método precisa): \n
- Uma função diferenciável
definida num intervalo que contém a estimativa inicial. \n - Uma estimativa inicial para a raiz, denotada por
. \n - Pressuposto implícito: podemos calcular
e (a derivada em ). \n
Nada mais foi dado; a resolução abaixo explicará o que fazer com esses dados para obter a primeira iteração.
Passo 2
Intuição: queremos aproximar uma raiz da equação
. Se estamos em
e conhecemos
e
, a ideia do método de Newton é aproximar a curva
por sua reta tangente em
e usar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. \n
Para formalizar isso usamos a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) em torno de : \n
Para formalizar isso usamos a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) em torno de
Aqui: \n
-
é o valor da função no ponto genérico . \n -
é o valor conhecido da função na estimativa atual. \n -
é a derivada (a inclinação) da função em . \n - O termo
é o pequeno deslocamento que procuramos. \n
Essa fórmula diz: perto de, a função comporta-se aproximadamente como uma reta com intercepto e inclinação .
Passo 3
Agora, para encontrar a aproximação da raiz a partir da reta tangente, colocamos a aproximação linear igual a zero (porque uma raíz de
satisfaz
). Assim: \n
Resolvendo essa equação para
(o ponto onde a reta tangente cruza o eixo
) fazemos álgebra simples: \n
Denotamos essa nova aproximação por
. Então obtemos a fórmula da primeira iteração: \n
Passo 4
Explicando a fórmula e as condições: \n
- A expressão
é a correção que subtraímos de . Se tem sinal positivo, subtraímos; se é negativo, somamos. \n - É imprescindível que
. Se a reta tangente é horizontal e ela pode não cruzar o eixo de modo útil (ou a fórmula dá divisão por zero). \n - Essa é uma aproximação; ela assume que a reta tangente é uma boa aproximação da curva perto de
. Quanto mais próxima a estimativa inicial estiver da raiz verdadeira e quanto mais “bem-comportada” for (derivada não muito pequena e suave), melhor será .
Passo 5
Interpretação geométrica passo a passo (para visualizar na prova): \n
- No plano, desenhe o ponto
. \n - A reta tangente em
tem equação (forma ponto-inclinação): \n
- O ponto onde essa reta cruza o eixo
tem . Substituindo e resolvendo para dá exatamente . \n
Logo,é a abscissa dessa interseção: é a estimativa obtida geometricamente pela tangente.
Passo 6
Receita prática (checklist) para calcular
em prova sem calculadora: \n
- Calcule
. Escreva com cuidado os números/fracionários. \n - Calcule
. Novamente, calcule exatamente (ou simplifique). \n - Forme a fração
. Reduza se possível. \n - Subtraia do
: . \n - Verifique: se
ficou muito pequeno, a correção pode ser grande — sinal de cuidado. \n
Faça esses passos devagar e mostre cada operação no papel da prova; isso ajuda a evitar erros aritméticos.
Passo 7
Exemplo numérico completo (isso é útil para fixar): \n
Escolha e
. A raiz verdadeira positiva é
, mas vamos ver a primeira iteração. \n
Escolha
- Calcule
: \n - Calcule
: logo \n - Forme a correção:
\n - Subtraia de
: \n
Interpretação: partindo de
o método de Newton nos dá
, que já está mais próximo de
.
Passo 8
Exemplo de problema que pode ocorrer (atenção na prova): \n
Se escolhermos, por exemplo,
e
, então
Aqui
e a fórmula
dá divisão por zero (ou indeterminação). Na prática, isso significa que a tangente é horizontal e não fornece um bom deslocamento. Então sempre verifique
antes de aplicar a fórmula.
Passo 9
Observações sobre uso na prova e dicas finais: \n
- Mostre os cálculos de
e separadamente; isso facilita conferir erros. \n - Se a expressão ficar com frações, mantenha exatidão (frações) até o fim e só approximar se pedirem uma aproximação numérica. \n
- Lembre-se: a primeira iteração é apenas o primeiro passo; o procedimento completo repete a mesma fórmula trocando
por para obter , e assim por diante. \n - Pequeno incentivo: faça a primeira iteração devagar — entender bem esse passo facilita repetir o processo nas próximas iterações.