Duas cargas positivas idênticas q estão sobre o eixo y, separadas por uma distância s.
a) Obtenha uma expressão para o campo elétrico no ponto localizado a uma distância x sobre o eixo perpendicular que passa pelo ponto médio.
b) Para q=1 \mathrm{nC} e s=6 \mathrm{~mm}, calcule E para x=0,2,4,6,10 \mathrm{~mm}, faça um gráfico e interprete.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há duas cargas idênticas e positivas com carga \,q, colocadas sobre o eixo y, separadas por uma distância \,s. (Peguei essa informação do enunciado e da figura.)
  • O ponto onde queremos o campo fica sobre o eixo x, no eixo perpendicular que passa pelo ponto médio entre as cargas, a uma distância \,x desse ponto médio (ou seja o ponto tem coordenadas (x,0)).
  • O enunciado pede duas coisas:
    • (a) obter uma expressão para o campo elétrico \,E no ponto em função de \,x,\,q,\,s;
    • (b) para \,q=1\\ \mathrm{nC} e \,s=6\\ \mathrm{mm}, calcular numericamente \,E para \,x=0,2,4,6,10\\ \mathrm{mm}, traçar/interpretar o gráfico.
Observações importantes que vou usar depois (já identificadas): cada carga está simetricamente localizada em relação ao ponto médio; portanto as componentes do campo na direção y se anulam e as componentes na direção x se somam.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb (a “ferramenta” principal). A intensidade do campo elétrico produzido por uma carga pontual \,q em um ponto a uma distância \,r é dada por
E_{\text{int}}=\frac{k\,q}{r^{2}},
onde \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (aproximadamente \,k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}). Aqui \,E_{\text{int}} é a intensidade total do campo no ponto causado por essa carga, e seu vetor tem direção radial da carga para o ponto (no caso de carga positiva, aponta para fora da carga).
Explicação das variáveis: \,q é a carga (em coulombs), \,r é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o campo. Essa fórmula dá o módulo do campo; se quisermos componentes, multiplicamos por cossenos dos ângulos apropriados.

Passo 3

Geométrica do problema e distância do ponto a cada carga.
  • Coloco o ponto médio entre as cargas na origem (0,0).
  • As cargas estão em (0,+s/2) e (0,-s/2).
  • O ponto onde calculamos o campo está em (x,0) (no eixo x, à direita do centro).
  • A distância do ponto (x,0) até cada carga é a mesma; chamo-a de \,r. Pela geometria do triângulo retângulo:
r=\sqrt{x^{2}+\left(\frac{s}{2}\right)^{2}}.

Passo 4

Direção e decomposição das contribuições de cada carga.
  • Cada carga positiva cria um campo de módulo \dfrac{kq}{r^{2}} apontando radialmente para a direita ou esquerda dependendo da posição relativa. No nosso ponto (x,0) as duas contribuições têm componentes horizontais (no eixo x) e verticais (no eixo y).
  • Por simetria, as componentes verticais ( y) das duas cargas têm sinais opostos e se anulam.
  • As componentes horizontais ( x) das duas contribuições têm o mesmo sentido (para a direita), então somam.
  • A componente horizontal de cada contribuição é o módulo vezes o cosseno do ângulo \theta entre a linha que liga a carga ao ponto e o eixo x. Do triângulo,
\cos\theta=\frac{x}{r}.

Passo 5

Escrevendo o campo total usando decomposição.
  • Módulo da contribuição de uma carga: \dfrac{kq}{r^{2}}.
  • Componente horizontal de uma contribuição: \dfrac{kq}{r^{2}}\cdot\cos\theta = \dfrac{kq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}=\dfrac{kq\,x}{r^{3}}.
  • As duas cargas fornecem cada uma essa componente e somam-se, logo o campo total (módulo, dirigido para a direita) é
E(x)=2\cdot\frac{kq\,x}{r^{3}}.
  • Substituindo r=\sqrt{x^{2}+\left(\tfrac{s}{2}\right)^{2}} obtemos a expressão final:
\boxed{\;E(x)=\frac{2kq\,x}{\left(x^{2}+\left(\dfrac{s}{2}\right)^{2}\right)^{3/2}}\; }
Essa é a resposta analítica pedida no item (a). Nota: o sentido é ao longo do eixo x positivo (para a direita), porque as cargas são positivas e empurram o campo para fora.

Passo 6

Interpretação rápida da expressão (parte didática importante para a prova).
  • Para x=0 (no ponto médio), \,E(0)=0 porque o fator x no numerador anula o campo: as contribuições horizontais de cada carga são zero (ângulo \theta=90^\circ).
  • Para x\to\infty (distância muito maior que s), \,r\approx x e a expressão aproxima-se de
E(x)\approx\frac{2kq}{x^{2}},
que é o campo de uma carga pontual de 2q colocada no ponto médio — comportamento esperado: a separação das cargas é pequena comparada à distância do ponto, então o sistema se comporta como carga total 2q.
  • A expressão tem um máximo para x finito. Podemos achar o ponto de máximo derivando E(x) em relação a x e igualando a zero:
    • Defina a=\dfrac{s}{2}. Então E(x)=C\cdot f(x) com C=2kq e f(x)=x(x^{2}+a^{2})^{-3/2}.
    • Derivando f(x):
    f'(x)=(x^{2}+a^{2})^{-3/2} + x\left(-\tfrac{3}{2}\right)(2x)(x^{2}+a^{2})^{-5/2}
f'(x)=(x^{2}+a^{2})^{-5/2}\bigl[(x^{2}+a^{2})-3x^{2}\bigr]=(x^{2}+a^{2})^{-5/2}(a^{2}-2x^{2}).
  • Zerar f'(x) a^{2}-2x^{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{s}{2\sqrt{2}}.
  • Conclusão: o campo atinge um valor máximo em
\boxed{\;x_{\text{max}}=\dfrac{s}{2\sqrt{2}}\;}.
Isso faz sentido fisicamente: perto do centro as componentes horizontais são pequenas; a uma pequena distância aumentam até um máximo; depois, à medida que x cresce mais, as distâncias aumentam e o campo decai.

Passo 7

Preparação para os cálculos numéricos do item (b): conversões e valores constantes.
  • \,q=1\\ \mathrm{nC}=1\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • \,s=6\\ \mathrm{mm}=6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então \,a=\dfrac{s}{2}=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Constante k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Pontos a avaliar: x=0,\\\ 2,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 10\\ \mathrm{mm} que em metros são x=0,\\\ 2\times10^{-3},\\\ 4\times10^{-3},\\\ 6\times10^{-3},\\\ 10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Cálculo passo a passo dos valores numéricos usando a fórmula
E(x)=\frac{2kq\,x}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}},\qquad a=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  1. Para x=0:
E(0)=0\quad\text{(porque o numerador contém o fator \(x\)).}é
  1. Para x=2\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
r=\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{(2{,}0\times10^{-3})^{2}+(3{,}0\times10^{-3})^{2}}=\sqrt{13\times10^{-6}}=3{,}60555\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
E=\frac{2(8{,}99\times10^{9})(1\times10^{-9})(2{,}0\times10^{-3})}{(3{,}60555\times10^{-3})^{3}}\approx 7{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  1. Para x=4\\ \mathrm{mm}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
r=\sqrt{(4{,}0\times10^{-3})^{2}+(3{,}0\times10^{-3})^{2}}=\sqrt{25\times10^{-6}}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
E=\frac{2(8{,}99\times10^{9})(1\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-3})}{(5{,}0\times10^{-3})^{3}}\approx 5{,}75\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  1. Para x=6\\ \mathrm{mm}=6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
r=\sqrt{(6{,}0\times10^{-3})^{2}+(3{,}0\times10^{-3})^{2}}=\sqrt{45\times10^{-6}}=6{,}7082\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
E\approx\frac{2(8{,}99\times10^{9})(1\times10^{-9})(6{,}0\times10^{-3})}{(6{,}7082\times10^{-3})^{3}}\approx 3{,}57\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  1. Para x=10\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}:
r=\sqrt{(1{,}0\times10^{-2})^{2}+(3{,}0\times10^{-3})^{2}}=\sqrt{109\times10^{-6}}=1{,}04403\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
E\approx\frac{2(8{,}99\times10^{9})(1\times10^{-9})(1{,}0\times10^{-2})}{(1{,}04403\times10^{-2})^{3}}\approx 1{,}58\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei as impressões a três dígitos significativos quando apropriado.)

Passo 9

Interpretação e esboço do gráfico (o que observar no gráfico e como interpretar na hora da prova).
  • Dados para impressão do gráfico E vs x (em unidades SI):
    • x=0\\ \mathrm{mm}\Rightarrow E=0\\ \mathrm{N/C}.
    • x=2\\ \mathrm{mm}\Rightarrow E\approx 7{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
    • x=4\\ \mathrm{mm}\Rightarrow E\approx 5{,}75\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
    • x=6\\ \mathrm{mm}\Rightarrow E\approx 3{,}57\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
    • x=10\\ \mathrm{mm}\Rightarrow E\approx 1{,}58\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Forma do gráfico: começa em zero no origin ( x=0), aumenta rapidamente até um máximo próximo de x_{\text{max}}=\dfrac{s}{2\sqrt{2}}=\dfrac{6\\ \mathrm{mm}}{2\sqrt{2}}\approx2{,}12\\ \mathrm{mm} (o nosso ponto 2\\ \mathrm{mm} está bem próximo do máximo), depois decresce monotonamente com cauda que se aproxima de E\sim 2kq/x^{2} para x grandes. Assim o gráfico tem um pico perto de 2{,}1\\ \mathrm{mm} e decai aproximadamente como potência x^{-2} para grandes x.
  • Interpretação física curta:
    • Em x=0 o campo é zero por simetria.
    • Em pequenas distâncias a partir do centro, as componentes horizontais aumentam (por isso há um pico).
    • Em distâncias grandes, o sistema se comporta como uma única carga 2q e o campo diminui como 1/x^{2}.
    • Portanto existe um máximo finito entre 0 e \infty, especificamente em x=\dfrac{s}{2\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle E(x)=\frac{2kq\,x}{\bigl(x^{2}+\bigl(\tfrac{s}{2}\bigr)^{2}\bigr)^{3/2}}
\displaystyle E(0)=0\\ \mathrm{N/C}
\displaystyle E(2\\ \mathrm{mm})\approx 7{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}
\displaystyle E(4\\ \mathrm{mm})\approx 5{,}75\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}
\displaystyle E(6\\ \mathrm{mm})\approx 3{,}57\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}
\displaystyle E(10\\ \mathrm{mm})\approx 1{,}58\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}

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