Duas cargas positivas idênticas
estão sobre o eixo
, separadas por uma distância
.
a) Obtenha uma expressão para o campo elétrico no ponto localizado a uma distância
sobre o eixo perpendicular que passa pelo ponto médio.
b) Para
e
, calcule
para
, faça um gráfico e interprete.
a) Obtenha uma expressão para o campo elétrico no ponto localizado a uma distância
b) Para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há duas cargas idênticas e positivas com carga
, colocadas sobre o eixo , separadas por uma distância . (Peguei essa informação do enunciado e da figura.) - O ponto onde queremos o campo fica sobre o eixo
, no eixo perpendicular que passa pelo ponto médio entre as cargas, a uma distância desse ponto médio (ou seja o ponto tem coordenadas ). - O enunciado pede duas coisas:
- (a) obter uma expressão para o campo elétrico
no ponto em função de ; - (b) para
e , calcular numericamente para , traçar/interpretar o gráfico.
- (a) obter uma expressão para o campo elétrico
Observações importantes que vou usar depois (já identificadas): cada carga está simetricamente localizada em relação ao ponto médio; portanto as componentes do campo na direção
se anulam e as componentes na direção
se somam.
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb (a “ferramenta” principal). A intensidade do campo elétrico produzido por uma carga pontual
em um ponto a uma distância
é dada por
onde
é a constante eletrostática (aproximadamente
). Aqui
é a intensidade total do campo no ponto causado por essa carga, e seu vetor tem direção radial da carga para o ponto (no caso de carga positiva, aponta para fora da carga).
Explicação das variáveis:
é a carga (em coulombs),
é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o campo. Essa fórmula dá o módulo do campo; se quisermos componentes, multiplicamos por cossenos dos ângulos apropriados.
Passo 3
Geométrica do problema e distância do ponto a cada carga.
- Coloco o ponto médio entre as cargas na origem
. - As cargas estão em
e . - O ponto onde calculamos o campo está em
(no eixo , à direita do centro). - A distância do ponto
até cada carga é a mesma; chamo-a de . Pela geometria do triângulo retângulo:
Passo 4
Direção e decomposição das contribuições de cada carga.
- Cada carga positiva cria um campo de módulo
apontando radialmente para a direita ou esquerda dependendo da posição relativa. No nosso ponto as duas contribuições têm componentes horizontais (no eixo ) e verticais (no eixo ). - Por simetria, as componentes verticais (
) das duas cargas têm sinais opostos e se anulam. - As componentes horizontais (
) das duas contribuições têm o mesmo sentido (para a direita), então somam. - A componente horizontal de cada contribuição é o módulo vezes o cosseno do ângulo
entre a linha que liga a carga ao ponto e o eixo . Do triângulo,
Passo 5
Escrevendo o campo total usando decomposição.
- Módulo da contribuição de uma carga:
. - Componente horizontal de uma contribuição:
. - As duas cargas fornecem cada uma essa componente e somam-se, logo o campo total (módulo, dirigido para a direita) é
- Substituindo
obtemos a expressão final:
Essa é a resposta analítica pedida no item (a). Nota: o sentido é ao longo do eixo
positivo (para a direita), porque as cargas são positivas e empurram o campo para fora.
Passo 6
Interpretação rápida da expressão (parte didática importante para a prova).
- Para
(no ponto médio), porque o fator no numerador anula o campo: as contribuições horizontais de cada carga são zero (ângulo ). - Para
(distância muito maior que ), e a expressão aproxima-se de
que é o campo de uma carga pontual de
colocada no ponto médio — comportamento esperado: a separação das cargas é pequena comparada à distância do ponto, então o sistema se comporta como carga total
.
- A expressão tem um máximo para
finito. Podemos achar o ponto de máximo derivando em relação a e igualando a zero: - Defina
. Então com e . - Derivando
:
- Defina
- Zerar
dá . - Conclusão: o campo atinge um valor máximo em
Isso faz sentido fisicamente: perto do centro as componentes horizontais são pequenas; a uma pequena distância aumentam até um máximo; depois, à medida que
cresce mais, as distâncias aumentam e o campo decai.
Passo 7
Preparação para os cálculos numéricos do item (b): conversões e valores constantes.
-
-
Então - Constante
. - Pontos a avaliar:
que em metros são
Passo 8
Cálculo passo a passo dos valores numéricos usando a fórmula
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Arredondei as impressões a três dígitos significativos quando apropriado.)
Passo 9
Interpretação e esboço do gráfico (o que observar no gráfico e como interpretar na hora da prova).
-
Dados para impressão do gráfico
vs (em unidades SI): -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Forma do gráfico: começa em zero no origin (
), aumenta rapidamente até um máximo próximo de (o nosso ponto está bem próximo do máximo), depois decresce monotonamente com cauda que se aproxima de para grandes. Assim o gráfico tem um pico perto de e decai aproximadamente como potência para grandes . -
Interpretação física curta:
- Em
o campo é zero por simetria. - Em pequenas distâncias a partir do centro, as componentes horizontais aumentam (por isso há um pico).
- Em distâncias grandes, o sistema se comporta como uma única carga
e o campo diminui como . - Portanto existe um máximo finito entre
e , especificamente em .
- Em