EP1.6. Transforme em coordenadas cilíndricas:
no ponto
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o vetor em coordenadas cartesianas
. - Ponto onde queremos expressar o vetor:
, ou seja , , . - Pedido: escrever
em coordenadas cilíndricas no ponto — isto é, obter a expressão do vetor em termos de , e (ou os componentes ) avaliados em .
Passo 2
Relembrando a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e entre os versores (aulas curtinhas e úteis):
- Coordenadas cilíndricas
relacionam-se com as cartesianas por
Aqui
é a distância do eixo
ao ponto projetado no plano
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
- Versores (unidades de direção):
- Inversamente, podemos escrever
e em função de e :
Essas fórmulas são o bloco de construção para converter componentes.
Passo 3
Calcular
,
e
no ponto
.
- Primeiro
- Usamos as identidades
e . Portanto, no ponto ,
Passo 4
Converter
para a base cilíndrica substituindo
e
.
- Escrevendo
em termos de :
Substituindo
e
:
Agrupando os coeficientes de
e
:
- Agora substituímos
e :
- Observe que
. Logo, os componentes (em termos de ) ficam
Passo 5
Interpretação prática e dica de prova: o cálculo mostra que a parte no plano
do vetor original ficou totalmente na direção radial
(com magnitude igual a
) e não tem componente azimutal
. No cálculo de prova, é mais eficiente usar
e
para evitar calcular explicitamente
com arco-tangente.