EP1.6. Transforme em coordenadas cilíndricas:
\mathbf{F}=10 \mathbf{a}_{x}-8 \mathbf{a}_{y}+6 \mathbf{a}_{z} no ponto P(10,-8,6).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o vetor em coordenadas cartesianas \mathbf{F}=10\,\mathbf{a}_x-8\,\mathbf{a}_y+6\,\mathbf{a}_z.
  • Ponto onde queremos expressar o vetor: P(10,-8,6), ou seja x=10, y=-8, z=6.
  • Pedido: escrever \mathbf{F} em coordenadas cilíndricas no ponto P — isto é, obter a expressão do vetor em termos de \mathbf{a}_\rho, \mathbf{a}_\varphi e \mathbf{a}_z (ou os componentes (F_\rho,F_\varphi,F_z)) avaliados em P.

Passo 2

Relembrando a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e entre os versores (aulas curtinhas e úteis):
  • Coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) relacionam-se com as cartesianas por
\rho=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x),\qquad z=z.
Aqui \rho é a distância do eixo z ao ponto projetado no plano xy, e \varphi é o ângulo em relação ao eixo x.
  • Versores (unidades de direção):
\mathbf{a}_\rho=\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y, \qquad \mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y, \qquad \mathbf{a}_z=\mathbf{a}_z.
  • Inversamente, podemos escrever \mathbf{a}_x e \mathbf{a}_y em função de \mathbf{a}_\rho e \mathbf{a}_\varphi:
\mathbf{a}_x=\cos\varphi\,\mathbf{a}_\rho-\sin\varphi\,\mathbf{a}_\varphi, \qquad \mathbf{a}_y=\sin\varphi\,\mathbf{a}_\rho+\cos\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.
Essas fórmulas são o bloco de construção para converter componentes.

Passo 3

Calcular \rho, \cos\varphi e \sin\varphi no ponto P(10,-8,6).
  • Primeiro
\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}.
  • Usamos as identidades \cos\varphi=\dfrac{x}{\rho} e \sin\varphi=\dfrac{y}{\rho}. Portanto, no ponto P,
\cos\varphi=\frac{10}{\rho}=\frac{10}{\sqrt{164}},\qquad \sin\varphi=\frac{-8}{\rho}=\frac{-8}{\sqrt{164}}.

Passo 4

Converter \mathbf{F} para a base cilíndrica substituindo \mathbf{a}_x e \mathbf{a}_y.
  • Escrevendo \mathbf{F} em termos de \mathbf{a}_\rho,\mathbf{a}_\varphi,\mathbf{a}_z:
\mathbf{F}=10\,\mathbf{a}_x-8\,\mathbf{a}_y+6\,\mathbf{a}_z.
Substituindo \mathbf{a}_x e \mathbf{a}_y:
\mathbf{F}=10(\cos\varphi\,\mathbf{a}_\rho-\sin\varphi\,\mathbf{a}_\varphi)-8(\sin\varphi\,\mathbf{a}_\rho+\cos\varphi\,\mathbf{a}_\varphi)+6\,\mathbf{a}_z.
Agrupando os coeficientes de \mathbf{a}_\rho e \mathbf{a}_\varphi:
\mathbf{F}=\big(10\cos\varphi-8\sin\varphi\big)\mathbf{a}_\rho+\big(-10\sin\varphi-8\cos\varphi\big)\mathbf{a}_\varphi+6\,\mathbf{a}_z.
  • Agora substituímos \cos\varphi=\dfrac{10}{\rho} e \sin\varphi=\dfrac{-8}{\rho}:
10\cos\varphi-8\sin\varphi=10\cdot\frac{10}{\rho}-8\cdot\frac{-8}{\rho}=\frac{100+64}{\rho}=\frac{164}{\rho}.
-10\sin\varphi-8\cos\varphi=-10\cdot\frac{-8}{\rho}-8\cdot\frac{10}{\rho}=\frac{80-80}{\rho}=0.
  • Observe que \dfrac{164}{\rho}=\dfrac{164}{\sqrt{164}}=\sqrt{164}=\rho. Logo, os componentes (em termos de \rho) ficam
F_\rho=\rho,\qquad F_\varphi=0,\qquad F_z=6.

Passo 5

Interpretação prática e dica de prova: o cálculo mostra que a parte no plano xy do vetor original ficou totalmente na direção radial \mathbf{a}_\rho (com magnitude igual a \rho) e não tem componente azimutal \mathbf{a}_\varphi. No cálculo de prova, é mais eficiente usar \cos\varphi=x/\rho e \sin\varphi=y/\rho para evitar calcular explicitamente \varphi com arco-tangente.

Resposta

\mathbf{F}=2\sqrt{41}\,\mathbf{a}_\rho+6\,\mathbf{a}_z

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