EP1.8. Transforme os seguintes vetores em coordenadas esféricas nos pontos dados:
10 \mathbf{a}_{z} em M(r=4, \theta=110^{\circ}, \varphi=120^{\circ}).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede.
  • Dado o vetor 10\,\mathbf{a}_{z} (ou seja, um vetor de módulo 10 apontando na direção do eixo z do sistema cartesiano).
  • O ponto onde queremos representar esse vetor em coordenadas esféricas é M com r=4, \theta=110^\circ e \varphi=120^\circ.
  • Pergunta: expressar o mesmo vetor 10\,\mathbf{a}_{z} na base de vetores unitários esféricos \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi avaliados no ponto M.

Passo 2

O que são os vetores unitários esféricos e como se escrevem (explicação didática).
  • Em coordenadas esféricas o ponto é dado por (r,\theta,\varphi), onde:
    • \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja, \theta=0 no polo norte),
    • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Os vetores unitários (dependem da posição) escrevem-se em termos dos vetores cartesianos \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z assim:
\mathbf{a}_r = \sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y + \cos\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\theta = \cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x + \cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y - \sin\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\varphi = -\sin\varphi\,\mathbf{a}_x + \cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
  • Aqui \mathbf{a}_r aponta radialmente para fora, \mathbf{a}_\theta aponta no sentido de aumento de \theta (para “baixo” em relação ao polo) e \mathbf{a}_\varphi aponta no sentido de aumento de \varphi (tangencial no plano azimutal).

Passo 3

Expressar \mathbf{a}_z na base esférica (dedução).
  • Queremos escrever \mathbf{a}_z como combinação linear de \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi.
  • Observe nas expressões acima que \mathbf{a}_r e \mathbf{a}_\theta têm componente em \mathbf{a}_z, enquanto \mathbf{a}_\varphi não tem. Em particular:
    • a componente de \mathbf{a}_r ao longo de \mathbf{a}_z é \cos\theta,
    • a componente de \mathbf{a}_\theta ao longo de \mathbf{a}_z é -\sin\theta.
  • Portanto podemos inverter e escrever diretamente (fórmula padrão que vale em qualquer ponto):
\mathbf{a}_z = \cos\theta\,\mathbf{a}_r - \sin\theta\,\mathbf{a}_\theta + 0\cdot\mathbf{a}_\varphi.
  • Explicando em palavras: a direção z se projeta na direção radial com peso \cos\theta e tem componente negativa na direção \mathbf{a}_\theta com peso \sin\theta. A componente azimutal é nula porque z é independente de \varphi.

Passo 4

Aplicar ao vetor dado e escrever os componentes simbólicos.
  • Multiplicando por 10 obtemos a decomposição do vetor pedido:
10\,\mathbf{a}_z = 10\cos\theta\,\mathbf{a}_r - 10\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta + 0\cdot\mathbf{a}_\varphi.
  • Assim os componentes esféricos (avaliados em qualquer ponto com ângulo polar \theta) são
    • V_r = 10\cos\theta,
    • V_\theta = -10\sin\theta,
    • V_\varphi = 0.

Passo 5

Avaliar numericamente em \theta=110^\circ (cálculos e interpretação dos sinais).
  • Primeiro relacionamentos úteis: \cos 110^\circ = -\cos 70^\circ e \sin 110^\circ = \sin 70^\circ.
  • Valores trigonométricos aproximados (suficientes para a prova):
    • \cos 110^\circ \approx -0,3420,
    • \sin 110^\circ \approx 0,9397.
  • Agora os componentes numéricos:
V_r = 10\cos 110^\circ \approx 10\cdot(-0,3420) = -3,420,
V_\theta = -10\sin 110^\circ \approx -10\cdot 0,9397 = -9,397,
V_\varphi = 0.
  • Interpretação rápida: ambos os componentes V_r e V_\theta são negativos (o componente radial aponta para dentro, porque a projeção de +\mathbf{a}_z no radial em \theta=110^\circ é negativa; o componente polar é negativo seguindo a fórmula).

Passo 6

Escrever a resposta final de forma clara (forma vetorial).
10\,\mathbf{a}_z \;\approx\; -3,420\,\mathbf{a}_r \;-\; 9,397\,\mathbf{a}_\theta \;+\; 0\,\mathbf{a}_\varphi.

Resposta

-3,420\,\mathbf{a}_r - 9,397\,\mathbf{a}_\theta + 0\,\mathbf{a}_\varphi

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