EP1.8. Transforme os seguintes vetores em coordenadas esféricas nos pontos dados:
em
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede.
- Dado o vetor
(ou seja, um vetor de módulo apontando na direção do eixo do sistema cartesiano). - O ponto onde queremos representar esse vetor em coordenadas esféricas é
com , e . - Pergunta: expressar o mesmo vetor
na base de vetores unitários esféricos avaliados no ponto .
Passo 2
O que são os vetores unitários esféricos e como se escrevem (explicação didática).
- Em coordenadas esféricas o ponto é dado por
, onde: -
é o ângulo polar medido a partir do eixo (ou seja, no polo norte), -
é o ângulo azimutal no plano .
-
- Os vetores unitários (dependem da posição) escrevem-se em termos dos vetores cartesianos
assim:
- Aqui
aponta radialmente para fora, aponta no sentido de aumento de (para “baixo” em relação ao polo) e aponta no sentido de aumento de (tangencial no plano azimutal).
Passo 3
Expressar
na base esférica (dedução).
- Queremos escrever
como combinação linear de . - Observe nas expressões acima que
e têm componente em , enquanto não tem. Em particular: - a componente de
ao longo de é , - a componente de
ao longo de é .
- a componente de
- Portanto podemos inverter e escrever diretamente (fórmula padrão que vale em qualquer ponto):
- Explicando em palavras: a direção
se projeta na direção radial com peso e tem componente negativa na direção com peso . A componente azimutal é nula porque é independente de .
Passo 4
Aplicar ao vetor dado e escrever os componentes simbólicos.
- Multiplicando por
obtemos a decomposição do vetor pedido:
- Assim os componentes esféricos (avaliados em qualquer ponto com ângulo polar
) são -
, -
, -
.
-
Passo 5
Avaliar numericamente em
(cálculos e interpretação dos sinais).
- Primeiro relacionamentos úteis:
e . - Valores trigonométricos aproximados (suficientes para a prova):
-
, -
.
-
- Agora os componentes numéricos:
- Interpretação rápida: ambos os componentes
e são negativos (o componente radial aponta para dentro, porque a projeção de no radial em é negativa; o componente polar é negativo seguindo a fórmula).
Passo 6
Escrever a resposta final de forma clara (forma vetorial).