Duas cargas puntiformes \mathrm{Q} 1=10^{-6} \mathrm{C} e \mathrm{Q} 2= 4.10^{-6} \mathrm{C} estão fixas nos pontos A e B e separadas pela distância \mathrm{d}=30 \mathrm{~cm} no vácuo. Sendo a constante eletrostática do vácuo \mathrm{k}_{0}=9.10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}, determine:
a) a intensidade da força elétrica de repulsão;
b) a intensidade da força elétrica resultante sobre uma terceira carga \mathrm{Q} 3=2.10^{-6} \mathrm{C}, colocada no ponto médio do segmento que une Q1 a Q2;

Passo 1

Vou identificar claramente o que o problema pede e quais dados temos.
O enunciado dá:
Q_1 = 10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad Q_2 = 4\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad d = 30\\ \mathrm{cm} = 0,30\\ \mathrm{m},
k_0 = 9\cdot10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2},\quad Q_3 = 2\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Perguntas:
a) Determinar a intensidade da força elétrica de repulsão entre Q_1 e Q_2.
b) Determinar a intensidade da força elétrica resultante sobre Q_3 quando ela está colocada no ponto médio do segmento que une Q_1 e Q_2.
Observações úteis (apenas identificação dos pedidos e dados; não vou resolver aqui): todos os sinais das cargas são positivos, então as forças entre elas serão de repulsão. No item (b) a posição é o ponto médio, logo Q_3 está a mesma distância de Q_1 e de Q_2.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: Lei de Coulomb e Princípio de Superposição.
A Lei de Coulomb dá a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes por:
F = k\,\frac{|Q_a Q_b|}{r^2},
onde:
  • F é a intensidade da força (em \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática do meio; no vácuo usamos k=k_0 (em \mathrm{N\,m^2/C^2});
  • Q_a e Q_b são as cargas (em \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em \mathrm{m}).
Notas didáticas:
  • O módulo aparece porque a fórmula dá a intensidade (valor positivo). A direção e sentido vêm da natureza das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem; de sinais opostos se atraem.
  • Para mais de duas cargas, usamos o princípio da superposição: a força resultante sobre uma carga é a soma vetorial (direção e sentido) das forças exercidas por cada carga individualmente. Como aqui todas as cargas estão sobre uma mesma reta, a soma vetorial reduz-se a soma algébrica (escolhemos um sentido positivo para a reta).

Passo 3

Resolvendo (a): intensidade da força elétrica de repulsão entre Q_1 e Q_2.
Aplicamos a Lei de Coulomb com Q_a=Q_1, Q_b=Q_2 e r=d:
F_{12} = k_0\,\frac{|Q_1 Q_2|}{d^2}.
Substituindo os valores (cada quantidade escrita em TeX):
F_{12} = 9\cdot10^{9}\cdot\frac{(10^{-6})(4\cdot10^{-6})}{(0,30)^2}.
Calculemos passo a passo:
(10^{-6})(4\cdot10^{-6}) = 4\cdot10^{-12}.
9\cdot10^{9}\cdot 4\cdot10^{-12} = 36\cdot10^{-3} = 0,036.
d^2 = (0,30)^2 = 0,09.
F_{12} = \frac{0,036}{0,09} = 0,4\\ \mathrm{N}.
Interpretação: como as cargas são positivas, é uma força de repulsão com intensidade \,0,4\\ \mathrm{N}\, agindo ao longo da reta que une Q_1 e Q_2.

Passo 4

Preparando (b): posição de Q_3 e distâncias para usar a superposição.
Se Q_3 está no ponto médio do segmento que une Q_1 e Q_2, então a distância de Q_3 a cada uma delas é:
r_{13}=r_{23}=\frac{d}{2} = \frac{0,30}{2} = 0,15\\ \mathrm{m}.
Para encontrar a força resultante sobre Q_3 usaremos superposição: a força total em Q_3 é a soma vetorial das forças devidas a Q_1 e a Q_2:
\vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_{13}+\vec{F}_{23}.
Como tudo está na mesma linha, escolhemos um eixo: para ficar intuitivo, tomo a direção positiva para a direita (supondo Q_1 à esquerda e Q_2 à direita). Então cada força terá sinal conforme o sentido (direita positivo, esquerda negativo).

Passo 5

Calcular a intensidade da força de Q_1 sobre Q_3: F_{13}.
Usando Coulomb:
F_{13} = k_0\,\frac{|Q_1 Q_3|}{r_{13}^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\frac{(10^{-6})(2\cdot10^{-6})}{(0,15)^2}.
Passo a passo:
(10^{-6})(2\cdot10^{-6}) = 2\cdot10^{-12}.
9\cdot10^{9}\cdot 2\cdot10^{-12} = 18\cdot10^{-3} = 0,018.
r_{13}^2 = (0,15)^2 = 0,0225.
F_{13} = \frac{0,018}{0,0225} = 0,8\\ \mathrm{N}.
Sentido: Q_1 e Q_3 ambas positivas ⇒ repulsão. Se Q_1 está à esquerda, F_{13} empurra Q_3 para a direita. Então no nosso eixo, F_{13} é +0,8\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a intensidade da força de Q_2 sobre Q_3: F_{23}.
Aplicando Coulomb:
F_{23} = k_0\,\frac{|Q_2 Q_3|}{r_{23}^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\frac{(4\cdot10^{-6})(2\cdot10^{-6})}{(0,15)^2}.
Passo a passo:
(4\cdot10^{-6})(2\cdot10^{-6}) = 8\cdot10^{-12}.
9\cdot10^{9}\cdot 8\cdot10^{-12} = 72\cdot10^{-3} = 0,072.
r_{23}^2 = 0,0225\quad(\text{já calculado}).á
F_{23} = \frac{0,072}{0,0225} = 3,2\\ \mathrm{N}.
Sentido: Q_2 está à direita e repulsa Q_3 para a esquerda. No nosso eixo, F_{23} é -3,2\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Somando vetorialmente (aqui, somando algébrica porque é tudo colinear) para obter a força resultante sobre Q_3.
Tomando direita como positiva:
F_{\text{res}} = F_{13} + F_{23} = (+0,8) + (-3,2) = -2,4\\ \mathrm{N}.
Interpretação: o módulo da força resultante é 2,4\\ \mathrm{N} e o sinal negativo indica que a direção é para a esquerda — isto é, Q_3 é empurrada em direção a Q_1 (o ponto A), porque a força proveniente da carga maior Q_2 domina.

Resposta

a) 0,4\\ \mathrm{N} (repulsão entre Q_1 e Q_2).
b) 2,4\\ \mathrm{N}, dirigida para o lado de Q_1 (isto é, para o ponto A).

Exercícios relacionados