Duas cascas cilíndricas longas de raios
e
estão dispostas coaxialmente e estão carregadas de tal forma que possuem potenciais
e
, respectivamente. Determine o potencial entre as cascas cilíndricas.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Duas cascas cilíndricas coaxiais, longas (praticamente infinitas no sentido axial).
- Raios das cascas:
(casca interna) e (casca externa). - Potenciais elétricos das cascas:
na casca de raio e na casca de raio .
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o potencial elétrico
na região entre as cascas, isto é para .
- Determinar o potencial elétrico
Passo 2
Observações físicas e simetrias (isso orienta o método):
- As cascas são longas e coaxiais: isso implica simetria cilíndrica e independência em relação ao ângulo azimutal e ao eixo axial. Em palavras simples: o potencial depende apenas da distância radial
ao eixo, não de nem de . - Logo, procuramos
para .
Passo 3
Equação que governa o problema:
- Em regiões sem carga volumétrica (entre as cascas não há carga volumétrica), o potencial satisfaz a equação de Laplace.
- Em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende só de
, a equação de Laplace reduz-se a
Expliquei: essa forma vem da expressão geral de
em coordenadas cilíndricas ao impor
e
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial (passo a passo, integrando):
- Multiplicando a equação por
obtemos
- Integrando uma vez em relação a
:
onde
é constante de integração.
- Isolando a derivada:
- Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
- Comentário didático: portanto, para simetria cilíndrica sem cargas, o potencial varia linearmente com
. Isso é análogo ao caso esférico (onde varia como ), mas aqui a dependência é logarítmica por causa da geometria 2D (infinita no eixo).
Passo 5
Determinar as constantes usando as condições de contorno:
- Aplicar
- Subtrair a primeira equação da segunda:
- Logo
- Encontrar :
Passo 6
Escrever a solução final numa forma conveniente:
- Substituindo
e em e rearranjando obtemos a forma usada com frequência
- Interpretação curta e útil: é uma interpolação linear entre
e quando se usa a escala . Se quiser o campo elétrico radial, basta derivar:
Isso mostra que
, como esperado na simetria cilíndrica.