Duas cascas condutoras esféricas de raios
e
estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais
e
, respectivamente. Se
, determine o potencial entre as cascas e nos pontos
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
- Duas cascas condutoras concêntricas de raios
e com . - A casca de raio
está a potencial . - A casca de raio
está a potencial .
- Duas cascas condutoras concêntricas de raios
- Perguntas:
- Determinar o potencial elétrico
na região entre as cascas, isto é para . - Determinar o potencial elétrico
nos pontos externos à casca externa, isto é para .
- Determinar o potencial elétrico
Observações importantes (informações relevantes do enunciado):
- As cascas são condutoras e concêntricas, logo o problema é sphericamente simétrico (o potencial depende apenas de
). - Não foi dada explicitamente a referência do potencial no infinito; para obter a solução física usual vou adotar a convenção padrão:
. Vou mencionar também como ficaríamos caso a referência no infinito fosse diferente.
Passo 2
Ideia geral e equação a resolver (aula curta sobre o método).
- Em regiões sem cargas (entre as cascas e fora da casca externa) o potencial satisfaz a equação de Laplace. Para simetria esférica a equação reduz-se a uma ODE em
:
- Vamos resolver essa ODE passo a passo (isso é básico e muito útil em provas):
- Multiplica por
e integra uma vez:
onde é constante de integração.
2. Isolae integra de novo: onde é outra constante de integração. - Multiplica por
- Conclusão: a solução geral, em qualquer região esférica sem carga, é da forma
onde
e
são constantes que serão fixadas pelas condições de contorno (valores dos potenciais nas superfícies e comportamento no infinito).
Passo 3
Determinação do potencial na região entre as cascas (
).
- Pela argumentação acima, para
temos
- Impomos as condições de contorno conhecidas:
e . Isso dá o sistema
- Subtraindo as duas equações para eliminar
:
- Resolve-se para
:
- Agora obtém-se
usando :
Passo 4
Escrever a expressão final para
entre as cascas e interpretar.
- Substituindo
e na forma geral:
- Comentário didático: essa fórmula é a combinação de uma parte constante e uma parte proporcional a
. Ela garante que em o potencial vale e em vale . Em prova, basta lembrar que a solução radial é e aplicar as duas condições de contorno para obter e .
Passo 5
Potencial fora da casca externa (
). hipótese sobre o infinito e solução.
- Para
também temos solução da forma
- Para um sistema finito de cargas isoladas é habitual escolher a referência tal que
ou seja, o potencial tende a zero quando
. Adotando essa convenção física (explique-se na prova se mudar a referência), o termo constante deve ser nulo:
.
- A condição de continuidade do potencial na superfície
dá
- Logo, para
(com ) obtemos a forma simples de monopólo:
- Comentário físico: isso corresponde ao campo gerado por uma carga efetiva
localizada na casca externa (vista de longe), e mostra que o potencial fora decai como .
Passo 6
Observação final e caso em que a referência em infinito não é zero.
- Se, por alguma razão, a referência escolhida for
, então a solução externa fica
pois isto garante
e
. Normalmente usa-se
, retornando à forma do Passo 5.