Que duas equações podem ser usadas para calcular a taxa de transferência de calor total para um fluido escoando por um tubo com um fluxo térmico na superfície uniforme? Que duas equações podem ser usadas para calcular a taxa de transferência de calor total para ou de um fluido escoando por um tubo com temperatura superficial uniforme?

Passo 1

O enunciado pede duas equações que podem ser usadas para calcular a taxa de transferência de calor total \dot{Q} para um fluido escoando por um tubo em dois casos distintos:
  • caso A: a parede do tubo impõe um fluxo térmico superficial uniforme (ou seja, q''_s constante ao longo da superfície);
  • caso B: a parede do tubo tem temperatura superficial uniforme (ou seja, T_s constante ao longo da superfície).
Informações relevantes (o que normalmente aparece nessas questões):
  • \dot{m} = vazão mássica do fluido ( \mathrm{kg/s});
  • c_p = capacidade calorífica a pressão constante ( \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • T_{b,\mathrm{in}}, T_{b,\mathrm{out}} = temperatura média do fluido (bulk) na entrada e na saída do tubo ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C});
  • q''_s = fluxo de calor superficial uniforme ( \mathrm{W/m^2});
  • h = coeficiente de transferência de calor por convecção entre parede e fluido ( \mathrm{W/(m^2\cdot K)});
  • A_s = área de superfície interna do tubo ( \mathrm{m^2}); normalmente A_s = P L, onde P é o perímetro molhado e L o comprimento do tubo;
  • P = perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • L = comprimento do tubo ( \mathrm{m});
  • definiremos também \mathrm{NTU} = \dfrac{h A_s}{\dot{m} c_p}, quando útil.
A resolução começará a partir do balanço de energia do fluido e da condição de contorno de cada caso.

Passo 2

Lembrete fundamental (balanço de energia): para escoamento estacionário sem geração interna, a taxa líquida de calor absorvida pelo fluido entre entrada e saída é dada por
\dot{Q}=\dot{m} c_p \bigl(T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}\bigr).
Explicação didática: essa é a equação de conservação de energia aplicada ao fluido em regime permanente. \dot{m} c_p é a capacidade térmica mássica que diz quanto de energia (J) é necessária para elevar 1 kg do fluido em 1 K; multiplicando por \dot{m} e pela variação de temperatura obtém-se a potência térmica transferida para o fluido ( \mathrm{W}). Essa equação vale independentemente da condição de contorno (fluxo superficial ou temperatura superficial), desde que se conheçam as temperaturas média de entrada e saída.

Passo 3

Caso A — superfície com fluxo térmico uniforme.
Condição de contorno: na superfície do tubo o fluxo de calor por unidade de área é constante:
q''_s=\text{constante}.
A taxa total de calor fornecida pela parede é simplesmente
\dot{Q}=q''_s A_s.
Explicação: o fluxo por unidade de área times a área total dá a potência total (unidades: \mathrm{W/m^2}\times\mathrm{m^2}=\mathrm{W}).
Também, pela conservação de energia (Passo 2), deve valer
\dot{Q}=\dot{m} c_p \bigl(T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}\bigr).
Essas são as duas equações simples e equivalentes que pode-se usar no caso de fluxo de calor superficial uniforme:
  • \dot{Q}=q''_s A_s,
  • \dot{Q}=\dot{m} c_p (T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}).
Se necessário, pode-se relacionar T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}} a q''_s resolvendo o equilíbrio diferencial ao longo do tubo: escrevendo o balanço local em um elemento de comprimento dx,
\dot{m} c_p \,\frac{dT_b}{dx}=q''_s P,
integrando de 0 a L obtém-se
T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}=\frac{q''_s P L}{\dot{m} c_p}=\frac{q''_s A_s}{\dot{m} c_p},
o que, reorganizando, recupera \dot{Q}=q''_s A_s.

Passo 4

Caso B — superfície com temperatura uniforme T_s= constante.
Condição de contorno local: a taxa de calor convectiva por unidade de área é
q''(x)=h\bigl(T_s-T_b(x)\bigr),
onde T_b(x) é a temperatura média (bulk) do fluido na seção em posição x.
Escrevendo o balanço local em um elemento de comprimento dx:
\dot{m} c_p \,\frac{dT_b}{dx}=h P \bigl(T_s-T_b(x)\bigr).
Explicação: a potência absorvida no trecho dx é a flux convectivo local q''(x) vezes a área lateral P\,dx.

Passo 5

Resolver a equação diferencial do Passo 4.
Defina
m=\frac{hP}{\dot{m} c_p}.
A equação fica
\frac{dT_b}{dx}=m\bigl(T_s-T_b(x)\bigr).
É uma ODE linear de primeira ordem com solução (integrando de x=0 a x=L, com condição T_b(0)=T_{b,\mathrm{in}}):
T_b(x)=T_s+\bigl(T_{b,\mathrm{in}}-T_s\bigr)\mathrm{e}^{-m x}.
Então a temperatura de saída é
T_{b,\mathrm{out}}=T_b(L)=T_s+\bigl(T_{b,\mathrm{in}}-T_s\bigr)\mathrm{e}^{-mL}.
A variação de temperatura do fluido é, portanto,
T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}=(T_s-T_{b,\mathrm{in}})\bigl(1-\mathrm{e}^{-mL}\bigr).

Passo 6

Escrever as duas formas úteis para \dot{Q} no caso de temperatura superficial uniforme.
Usando o balanço de energia (Passo 2) e o resultado do Passo 5 obtemos a forma direta em termos das temperaturas:
\dot{Q}=\dot{m} c_p \bigl(T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}\bigr) =\dot{m} c_p \,(T_s-T_{b,\mathrm{in}})\bigl(1-\mathrm{e}^{-mL}\bigr).
Agora substitua mL=\dfrac{hPL}{\dot{m}c_p}=\dfrac{hA_s}{\dot{m}c_p} e defina
\mathrm{NTU}=\frac{hA_s}{\dot{m}c_p}.
Uma forma alternativa, algebraicamente equivalente, expressa \dot{Q} em termos de hA_s e da mesma diferença de temperatura na entrada:
\dot{Q}=hA_s\,(T_s-T_{b,\mathrm{in}})\,\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{NTU}}}{\mathrm{NTU}}.
Explicação: as duas expressões (com \dot{m}c_p ou com hA_s e NTU) são equivalentes porque \dot{m}c_p=\dfrac{hA_s}{\mathrm{NTU}}.
Portanto, para superfície a temperatura constante as duas formas práticas que se usam frequentemente são:
  • \dot{Q}=\dot{m} c_p (T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}})=\dot{m} c_p (T_s-T_{b,\mathrm{in}})\bigl(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{NTU}}\bigr);
  • \dot{Q}=hA_s\,(T_s-T_{b,\mathrm{in}})\,\dfrac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{NTU}}}{\mathrm{NTU}}.

Resposta

Caso com fluxo térmico superficial uniforme:
\dot{Q}=q''_s A_s
\dot{Q}=\dot{m} c_p \bigl(T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}\bigr)
Caso com temperatura superficial uniforme:
\dot{Q}=\dot{m} c_p \bigl(T_{b,\mathrm{out}}-T_{b,\mathrm{in}}\bigr) =\dot{m} c_p (T_s-T_{b,\mathrm{in}})\bigl(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{NTU}}\bigr)
\dot{Q}=hA_s\,(T_s-T_{b,\mathrm{in}})\,\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{NTU}}}{\mathrm{NTU}}

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