Sob quais condições o número de Nusselt associado ao escoamento interno é igual a um valor constante, independente dos números de Reynolds e de Prandtl?
Passo 1
O que a pergunta pede: listar as condições em que o número de Nusselt associado a um escoamento interno é um valor constante, isto é, não depende de
nem de
.
Informações/pressupostos implícitos que vou usar (nenhum dado numérico foi fornecido):
- Estamos falando de escoamento interno em conduto (tubo, duto) com seção constante.
- “Número de Nusselt constante” significa que a solução da transferência de calor adimensional não muda com
e . - Vou considerar os dois tipos clássicos de condição de contorno térmico na parede: temperatura de parede constante e fluxo de calor de parede constante.
Passo 2
Definições básicas (para entender o porquê de uma independência):
- Número de Nusselt:
onde é o coeficiente convectivo local/médio, é uma dimensão característica (no conduto interno normalmente , o diâmetro) e é a condutividade térmica do fluido. - Número de Reynolds:
mede a razão entre inércia e viscosidade; controla se o escoamento é laminar ou turbulento. - Número de Prandtl:
mede a razão entre difusividade de momento e difusividade térmica.
Interpretação física:
mede a intensidade da convecção em relação à condução. Em geral
depende de
e
, porque velocidade e propriedades influenciam o transporte convectivo. A pergunta é: quando isso não ocorre?
Passo 3
Conceito-chave: “regime termicamente totalmente desenvolvido” + laminaridade.
Explicação em palavras: se o perfil de velocidade no tubo já não muda com
(escoamento hidrodinamicamente desenvolvido) e o perfil adimensional de temperatura ao longo da seção transversal não muda de forma com
(escoamento termicamente desenvolvido), então a solução adimensional do problema térmico é fixa: o balanço entre condução radial e convecção axial fixa um perfil adimensional único. Nesse caso o coeficiente convectivo adimensionalizado, isto é
, é determinado apenas pela geometria do conduto e pela condição de contorno térmico na parede — não por
nem por
.
Por que isso acontece (esboço matemático, sem pular passos importantes):
- Partimos da equação de energia para escoamento estacionário, incompressível, sem geração de calor e sem dissipação viscosa, em coordenadas cilíndricas e assumindo simetria axial:
- Se o escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido,
é fixo (perfil de Poiseuille para fluxo laminar). - Definir temperatura média
e escrever . “Termicamente desenvolvido” significa independe de : . Então (função apenas de ). - Substituindo na equação de energia, o lado convectivo fica
e o lado direito continua sendo operador radial sobre . Como é uma constante multiplicativa em , a equação diferencial para envolve apenas o perfil de velocidade adimensional e parâmetros geométricos, não envolve explicitamente nem separados; ao formar a condição de contorno no gradiente radial em e relacionar o fluxo de calor à diferença obtém-se um valor fixo para a razão , que é proporcional a . - Portanto, a solução adimensional (e consequentemente
) depende somente da forma do conduto e da condição térmica na parede, não de ou .
Passo 4
Lista clara e completa das condições necessárias (resumo prático que caí na prova):
- Escoamento laminar e hidrodinamicamente desenvolvido (perfil de velocidade fixo). Em tubos circulares isso ocorre geralmente para
e após comprimento de entrada hidrodinâmico. - Regime termicamente totalmente desenvolvido: o perfil adimensional de temperatura ao longo da seção já não varia com
. Isto requer que a região de entrada térmica tenha sido ultrapassada. - Condições de contorno térmico uniformes e simples: normalmente parede de temperatura constante (
const) ou parede com fluxo de calor uniforme ( const). Cada BC dá um valor constante diferente de . - Propriedades do fluido constantes (
constantes). - Sem geração interna de calor, sem dissipação viscosa importante e sem condução axial dominante (difusão axial desprezível frente à convecção axial).
- Seção do conduto é constante ao longo do comprimento e superfície interna lisa (geometria fixa).
Se TODAS essas condições forem satisfeitas,
é constante e independe de
e
.
Passo 5
Valores clássicos (caso mais comum: tubo circular):
- Para tubo circular com parede mantida a temperatura constante:
- Para tubo circular com fluxo de calor uniformemente distribuído na parede:
Comentários: esses números são para escoamento laminar, hidrodinâmica e termicamente desenvolvidos, propriedades constantes. O número maior no caso de fluxo de calor constante acontece porque a condição de fluxo impõe um gradiente térmico na parede diferente, resultando em maior coeficiente convectivo médio adimensional.
Passo 6
Observações úteis — quando NÃO esperar
constante:
- Escoamento turbulento:
geralmente depende fortemente de e (ex.: correlações empíricas tipo Dittus–Boelter ). - Região de entrada térmica (termicamente em desenvolvimento):
varia com e depende de e via o número de Graetz. - Variação de propriedades com temperatura, geração interna ou dissipação viscosa significativa invalidam a independência.
- Geometrias não-circulares: ainda podem ter
constante no regime termicamente desenvolvido, mas o valor numérico depende da geometria (por exemplo, condutos retangulares têm outros valores tabulados).
Passo 7
Dica prática para prova (como checar rapidamente):
- Verifique se o enunciado menciona “escoamento laminar” e “termicamente desenvolvido” ou dados que implicam que o comprimento é muito maior que o comprimento de entrada térmico.
- Estime o comprimento de entrada térmico para escoamento laminar:
Se o comprimento do tubo
, é razoável assumir desenvolvimento térmico e usar a
constante (se as demais hipóteses mantiverem-se válidas).
Resposta
Condições: escoamento laminar e hidrodinamicamente desenvolvido; regime termicamente totalmente desenvolvido; propriedades do fluido constantes; sem geração interna de calor nem dissipação viscosa importante; contorno térmico uniforme na parede (parede à temperatura constante ou fluxo de calor constante); geometria de seção constante. Nessas condições
é independente de
e
.
Valores clássicos para tubo circular:
(parede à temperatura constante)
(fluxo de calor de parede uniforme)