Sob quais condições o número de Nusselt associado ao escoamento interno é igual a um valor constante, independente dos números de Reynolds e de Prandtl?

Passo 1

O que a pergunta pede: listar as condições em que o número de Nusselt associado a um escoamento interno é um valor constante, isto é, não depende de \mathrm{Re} nem de \mathrm{Pr}.
Informações/pressupostos implícitos que vou usar (nenhum dado numérico foi fornecido):
  • Estamos falando de escoamento interno em conduto (tubo, duto) com seção constante.
  • “Número de Nusselt constante” significa que a solução da transferência de calor adimensional não muda com \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}.
  • Vou considerar os dois tipos clássicos de condição de contorno térmico na parede: temperatura de parede constante e fluxo de calor de parede constante.

Passo 2

Definições básicas (para entender o porquê de uma independência):
  • Número de Nusselt: \mathrm{Nu}=\frac{h L}{k}, onde h é o coeficiente convectivo local/médio, L é uma dimensão característica (no conduto interno normalmente L=D, o diâmetro) e k é a condutividade térmica do fluido.
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{\rho U D}{\mu}, mede a razão entre inércia e viscosidade; controla se o escoamento é laminar ou turbulento.
  • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=\frac{\mu c_p}{k}, mede a razão entre difusividade de momento e difusividade térmica.
Interpretação física: \mathrm{Nu} mede a intensidade da convecção em relação à condução. Em geral \mathrm{Nu} depende de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}, porque velocidade e propriedades influenciam o transporte convectivo. A pergunta é: quando isso não ocorre?

Passo 3

Conceito-chave: “regime termicamente totalmente desenvolvido” + laminaridade.
Explicação em palavras: se o perfil de velocidade no tubo já não muda com x (escoamento hidrodinamicamente desenvolvido) e o perfil adimensional de temperatura ao longo da seção transversal não muda de forma com x (escoamento termicamente desenvolvido), então a solução adimensional do problema térmico é fixa: o balanço entre condução radial e convecção axial fixa um perfil adimensional único. Nesse caso o coeficiente convectivo adimensionalizado, isto é \mathrm{Nu}, é determinado apenas pela geometria do conduto e pela condição de contorno térmico na parede — não por \mathrm{Re} nem por \mathrm{Pr}.
Por que isso acontece (esboço matemático, sem pular passos importantes):
  • Partimos da equação de energia para escoamento estacionário, incompressível, sem geração de calor e sem dissipação viscosa, em coordenadas cilíndricas e assumindo simetria axial: \rho c_p u(r)\frac{\partial T}{\partial x}=k\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Big(r\frac{\partial T}{\partial r}\Big)\right).
  • Se o escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido, u(r) é fixo (perfil de Poiseuille para fluxo laminar).
  • Definir temperatura média T_m(x) e escrever T(r,x)=T_m(x)+\theta(r). “Termicamente desenvolvido” significa \theta independe de x: \partial\theta/\partial x=0. Então \partial T/\partial x = \mathrm{d}T_m/\mathrm{d}x (função apenas de x).
  • Substituindo na equação de energia, o lado convectivo fica \rho c_p u(r)\,\mathrm{d}T_m/\mathrm{d}x e o lado direito continua sendo operador radial sobre \theta(r). Como \mathrm{d}T_m/\mathrm{d}x é uma constante multiplicativa em r, a equação diferencial para \theta(r) envolve apenas o perfil de velocidade adimensional e parâmetros geométricos, não envolve explicitamente \mathrm{Re} nem \mathrm{Pr} separados; ao formar a condição de contorno no gradiente radial em r=D/2 e relacionar o fluxo de calor q'' à diferença T_w-T_m obtém-se um valor fixo para a razão q''/(T_w-T_m), que é proporcional a h.
  • Portanto, a solução adimensional (e consequentemente \mathrm{Nu}=hD/k) depende somente da forma do conduto e da condição térmica na parede, não de \mathrm{Re} ou \mathrm{Pr}.

Passo 4

Lista clara e completa das condições necessárias (resumo prático que caí na prova):
  1. Escoamento laminar e hidrodinamicamente desenvolvido (perfil de velocidade fixo). Em tubos circulares isso ocorre geralmente para \mathrm{Re}\lesssim2300 e após comprimento de entrada hidrodinâmico.
  2. Regime termicamente totalmente desenvolvido: o perfil adimensional de temperatura ao longo da seção já não varia com x. Isto requer que a região de entrada térmica tenha sido ultrapassada.
  3. Condições de contorno térmico uniformes e simples: normalmente parede de temperatura constante ( T_w= const) ou parede com fluxo de calor uniforme ( q''= const). Cada BC dá um valor constante diferente de \mathrm{Nu}.
  4. Propriedades do fluido constantes ( \rho,c_p,\mu,k constantes).
  5. Sem geração interna de calor, sem dissipação viscosa importante e sem condução axial dominante (difusão axial desprezível frente à convecção axial).
  6. Seção do conduto é constante ao longo do comprimento e superfície interna lisa (geometria fixa).
Se TODAS essas condições forem satisfeitas, \mathrm{Nu} é constante e independe de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}.

Passo 5

Valores clássicos (caso mais comum: tubo circular):
  • Para tubo circular com parede mantida a temperatura constante: \mathrm{Nu}=3,66.
  • Para tubo circular com fluxo de calor uniformemente distribuído na parede: \mathrm{Nu}=4,36.
Comentários: esses números são para escoamento laminar, hidrodinâmica e termicamente desenvolvidos, propriedades constantes. O número maior no caso de fluxo de calor constante acontece porque a condição de fluxo impõe um gradiente térmico na parede diferente, resultando em maior coeficiente convectivo médio adimensional.

Passo 6

Observações úteis — quando NÃO esperar \mathrm{Nu} constante:
  • Escoamento turbulento: \mathrm{Nu} geralmente depende fortemente de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} (ex.: correlações empíricas tipo Dittus–Boelter \mathrm{Nu}=0,023\mathrm{Re}^{0,8}\mathrm{Pr}^{n}).
  • Região de entrada térmica (termicamente em desenvolvimento): \mathrm{Nu} varia com x e depende de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} via o número de Graetz.
  • Variação de propriedades com temperatura, geração interna ou dissipação viscosa significativa invalidam a independência.
  • Geometrias não-circulares: ainda podem ter \mathrm{Nu} constante no regime termicamente desenvolvido, mas o valor numérico depende da geometria (por exemplo, condutos retangulares têm outros valores tabulados).

Passo 7

Dica prática para prova (como checar rapidamente):
  • Verifique se o enunciado menciona “escoamento laminar” e “termicamente desenvolvido” ou dados que implicam que o comprimento é muito maior que o comprimento de entrada térmico.
  • Estime o comprimento de entrada térmico para escoamento laminar: L_{th}\sim 0,05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D.
Se o comprimento do tubo L\gg L_{th}, é razoável assumir desenvolvimento térmico e usar a \mathrm{Nu} constante (se as demais hipóteses mantiverem-se válidas).

Resposta

Condições: escoamento laminar e hidrodinamicamente desenvolvido; regime termicamente totalmente desenvolvido; propriedades do fluido constantes; sem geração interna de calor nem dissipação viscosa importante; contorno térmico uniforme na parede (parede à temperatura constante ou fluxo de calor constante); geometria de seção constante. Nessas condições \mathrm{Nu} é independente de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}.
Valores clássicos para tubo circular:
\mathrm{Nu}=3,66 (parede à temperatura constante)
\mathrm{Nu}=4,36 (fluxo de calor de parede uniforme)

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