Duas esferas idênticas de massa
e raio 10 cm estão 30 cm separadas (distância centro a centro). Assuma que a única força atuando sobre cada massa é a força gravitacional devido a outra massa.
Se as esferas estão inicialmente em repouso e apenas se tocando, qual a energia requerida para separá-las de uma distância de
?
Se as esferas estão inicialmente em repouso e apenas se tocando, qual a energia requerida para separá-las de uma distância de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (e resolver uma pequena ambiguidade para poder calcular):
- Duas esferas idênticas com massa
cada. - Raio de cada esfera
. - O enunciado menciona duas coisas aparentemente conflitantes sobre a separação inicial: “estão
separadas (distância centro a centro)” e também diz “apenas se tocando” (que implicaria separação centro a centro ). Como não posso perguntar, escolho usar a distância numérica explicitada: separação inicial . (Isso porque um valor numérico explícito dá uma condição bem definida para cálculo.) - Distância final pedida:
. - O que se pede: energia requerida para separar as esferas de
para , assumindo que a única força atuante é a atração gravitacional entre elas e que inicialmente estão em repouso.
Passo 2
Conceito físico central — energia potencial gravitacional entre duas massas puntiformes:
- A interação gravitacional entre duas massas
e separadas por distância tem energia potencial
onde
é a constante gravitacional universal (
). Explicando as partes:
-
é a energia potencial gravitacional (unidade: joule, ). - O sinal negativo indica que as massas estão ligadas por atração: quando
diminui (elas se aproximam), fica mais negativo — energia é liberada. - Aqui as massas são iguais:
. Então
Passo 3
Relação entre trabalho necessário e variação da energia potencial:
- Para separar as massas de
para lentamente (quase quasistaticamente), o trabalho fornecido por uma força externa (energia requerida) é igual à variação positiva da energia potencial:
- Substituindo a forma de
:
- Observe o sentido: se
, então e , ou seja é preciso fornecer energia para vencer a atração.
Passo 4
Colocar os valores numéricos nas unidades SI e calcular passo a passo:
- Constante gravitacional:
. - Massa:
. - Produto
:
- Produto
:
(Expliquei unidades:
em
vezes
fica
, que ao dividir por uma distância dá joules.)
Passo 5
Calcular a diferença de inversos das distâncias:
-
, .
Passo 6
Multiplicar os termos para obter a energia requerida:
Fazendo a conta:
(Detalhe:
, arredondei para três algarismos significativos como coerente com os dados.)
Passo 7
Interpretação final e comentário motivador:
- O valor é extremamente pequeno: cerca de
. Isso mostra que para massas pequenas (20 kg) e distâncias do tipo metros, a atração gravitacional entre elas é praticamente desprezível energeticamente — por isso normalmente a gravitação entre objetos comuns não afeta muito o dia a dia sem massas enormes. - Parabéns: agora já sabe como derivar a expressão pela ideia de energia potencial e calcular com cuidado unidades e fatores numéricos. Dá pra aplicar o mesmo raciocínio para quaisquer massas e distâncias.