Duas esferas idênticas de massa 20,0 \mathrm{~kg} e raio 10 cm estão 30 cm separadas (distância centro a centro). Assuma que a única força atuando sobre cada massa é a força gravitacional devido a outra massa.
Se as esferas estão inicialmente em repouso e apenas se tocando, qual a energia requerida para separá-las de uma distância de 1,00 \mathrm{~m} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (e resolver uma pequena ambiguidade para poder calcular):
  • Duas esferas idênticas com massa m=20,0\\ \mathrm{kg} cada.
  • Raio de cada esfera R=0,10\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado menciona duas coisas aparentemente conflitantes sobre a separação inicial: “estão 0,30\\ \mathrm{m} separadas (distância centro a centro)” e também diz “apenas se tocando” (que implicaria separação centro a centro 0,20\\ \mathrm{m}). Como não posso perguntar, escolho usar a distância numérica explicitada: separação inicial \,r_i=0,30\\ \mathrm{m}. (Isso porque um valor numérico explícito dá uma condição bem definida para cálculo.)
  • Distância final pedida: \,r_f=1,00\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede: energia requerida para separar as esferas de r_i para r_f, assumindo que a única força atuante é a atração gravitacional entre elas e que inicialmente estão em repouso.

Passo 2

Conceito físico central — energia potencial gravitacional entre duas massas puntiformes:
  • A interação gravitacional entre duas massas m_1 e m_2 separadas por distância r tem energia potencial
U(r) = -\frac{G\,m_1 m_2}{r},
onde G é a constante gravitacional universal ( G\approx 6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}). Explicando as partes:
  • U(r) é a energia potencial gravitacional (unidade: joule, \mathrm{J}).
  • O sinal negativo indica que as massas estão ligadas por atração: quando r diminui (elas se aproximam), U fica mais negativo — energia é liberada.
  • Aqui as massas são iguais: m_1=m_2=m. Então
U(r) = -\frac{G\,m^2}{r}.

Passo 3

Relação entre trabalho necessário e variação da energia potencial:
  • Para separar as massas de r_i para r_f lentamente (quase quasistaticamente), o trabalho fornecido por uma força externa (energia requerida) é igual à variação positiva da energia potencial:
W_{\text{ext}} = \Delta U = U(r_f)-U(r_i).
  • Substituindo a forma de U:
W_{\text{ext}} = -\frac{G m^2}{r_f} -\left(-\frac{G m^2}{r_i}\right) = G m^2\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right).
  • Observe o sentido: se r_f>r_i, então \dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_f}>0 e W_{\text{ext}}>0, ou seja é preciso fornecer energia para vencer a atração.

Passo 4

Colocar os valores numéricos nas unidades SI e calcular passo a passo:
  • Constante gravitacional: G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • Massa: m=20,0\\ \mathrm{kg}.
  • Produto m^2:
m^2 = (20,0)^2 = 400\\ \mathrm{kg^2}.
  • Produto G m^2:
G m^2 = 6,674\times10^{-11}\times 400 = 6,674\times400\times10^{-11} = 2,6696\times10^{-8}\\ \mathrm{J\cdot m}.
(Expliquei unidades: G em \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}} vezes \mathrm{kg^2} fica \mathrm{m^3\,kg\,s^{-2}}=\mathrm{J\cdot m}, que ao dividir por uma distância dá joules.)

Passo 5

Calcular a diferença de inversos das distâncias:
  • r_i=0,30\\ \mathrm{m}, r_f=1,00\\ \mathrm{m}.
\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}=\frac{1}{0,30}-\frac{1}{1,00}=3,\overline{3}-1=2,333\overline{3}=\frac{7}{3}.

Passo 6

Multiplicar os termos para obter a energia requerida:
W_{\text{ext}} = G m^2\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) = 2,6696\times10^{-8}\times 2,333\overline{3}.
Fazendo a conta:
W_{\text{ext}}\approx 6,23\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
(Detalhe: 2,6696\times\frac{7}{3}=2,6696\times2,333\overline{3}\approx6,229\times10^{-8}, arredondei para três algarismos significativos como coerente com os dados.)

Passo 7

Interpretação final e comentário motivador:
  • O valor é extremamente pequeno: cerca de 6\times10^{-8}\\ \mathrm{J}. Isso mostra que para massas pequenas (20 kg) e distâncias do tipo metros, a atração gravitacional entre elas é praticamente desprezível energeticamente — por isso normalmente a gravitação entre objetos comuns não afeta muito o dia a dia sem massas enormes.
  • Parabéns: agora já sabe como derivar a expressão pela ideia de energia potencial e calcular com cuidado unidades e fatores numéricos. Dá pra aplicar o mesmo raciocínio para quaisquer massas e distâncias.

Resposta

6,23\times10^{-8}\\ \mathrm{J}

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