A Lua causa as marés porque a força gravitacional que ela exerce é diferente entre o lado da Terra mais peróximo a ela e o lado mais afastado dela. Ache a diferença nas acelerações em direção à Lua de corpos sobre os lados próximos e afastados da Terra.

Passo 1

O enunciado pede que se ache a diferença nas acelerações, na direção da Lua, de corpos situados sobre os lados mais próximo e mais afastado da Terra. Vou identificar claramente as quantidades que vamos usar (essas são as informações necessárias; o enunciado não deu valores numéricos, então trabalharemos em símbolos):
  • G: constante gravitacional.
  • M: massa da Lua.
  • r: distância entre os centros da Terra e da Lua.
  • R: raio da Terra (distância do centro da Terra até a superfície onde estão os corpos).
    O que devemos fornecer: uma expressão para a diferença das acelerações em direção à Lua entre um corpo na face próxima e um corpo na face oposta da Terra, e uma aproximação conveniente para R\ll r.

Passo 2

Lembra da lei da gravitação de Newton: a aceleração de um corpo de massa desprezível, devido à Lua, a uma distância d do centro da Lua é dada por
a(d)=\frac{G M}{d^{2}}.
Aqui:
  • \,a(d) é a aceleração direcionada para a Lua (m/s ^2);
  • \,G é a constante gravitacional ( 6{,}674\times10^{-11}\\ \text{SI});
  • \,M é a massa da Lua;
  • \,d é a distância entre o corpo e o centro da Lua.
    Vamos aplicar essa fórmula para os três pontos relevantes: centro da Terra, ponto da superfície mais próximo da Lua e ponto da superfície mais afastado.

Passo 3

As distâncias ao centro da Lua são:
  • para o centro da Terra: d_{\text{c}}=r;
  • para o ponto mais próximo (face voltada para a Lua): d_{\text{próx}}=r-Ró;
  • para o ponto mais afastado (face oposta): d_{\text{afast}}=r+R.
    Portanto as acelerações (direção Lua) são, pela fórmula:
a_{\text{c}}=\frac{G M}{r^{2}}, \qquad a_{\text{próx}}=\frac{G M}{(r-R)^{2}}, \qquad a_{\text{afast}}=\frac{G M}{(r+R)^{2}}.ó

Passo 4

A mareagem é causada pela diferença entre a aceleração em cada ponto da superfície e a aceleração do centro da Terra. Definimos as diferenças (acelerações de maré) relativas ao centro como:
\Delta a_{\text{próx}}=a_{\text{próx}}-a_{\text{c}}= G M\!\left(\frac{1}{(r-R)^{2}}-\frac{1}{r^{2}}\right),óó
\Delta a_{\text{afast}}=a_{\text{afast}}-a_{\text{c}}= G M\!\left(\frac{1}{(r+R)^{2}}-\frac{1}{r^{2}}\right).
Essas expressões são exatas (dadas as suposições geométricas unidimensionais).

Passo 5

Para simplificar e entender a ordem de grandeza, usamos a expansão binomial para R\ll r. Para \varepsilon=\dfrac{R}{r}\ll1 vale
\frac{1}{(1\mp\varepsilon)^{2}} \approx 1 \pm 2\varepsilon + 3\varepsilon^{2} + \cdots.
Aplicando isso:
\frac{1}{(r-R)^{2}}=\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{(1-\varepsilon)^{2}}\approx\frac{1}{r^{2}}\bigl(1+2\varepsilon+3\varepsilon^{2}\bigr),
\frac{1}{(r+R)^{2}}=\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{(1+\varepsilon)^{2}}\approx\frac{1}{r^{2}}\bigl(1-2\varepsilon+3\varepsilon^{2}\bigr).
Substituindo nas diferenças relativas:
\Delta a_{\text{próx}}\approx G M\left(\frac{1}{r^{2}}\bigl(1+2\varepsilon+\cdots\bigr)-\frac{1}{r^{2}}\right) = \frac{2 G M}{r^{2}}\varepsilon + \text{ord}(\varepsilon^{2}),ó
\Delta a_{\text{afast}}\approx G M\left(\frac{1}{r^{2}}\bigl(1-2\varepsilon+\cdots\bigr)-\frac{1}{r^{2}}\right) = -\frac{2 G M}{r^{2}}\varepsilon + \text{ord}(\varepsilon^{2}).
Voltando a R e r:
\boxed{\Delta a_{\text{próx}}\approx \frac{2 G M R}{r^{3}},\qquad \Delta a_{\text{afast}}\approx -\frac{2 G M R}{r^{3}}.}ó
Interpretação rápida: no lado próximo a aceleração em direção à Lua é maior que a do centro (diferença positiva), e no lado oposto é menor (diferença negativa — equivalente a uma aceleração relativa apontando para fora, causando a protuberância oposta).

Passo 6

Se a pergunta for sobre a diferença direta entre as acelerações do ponto próximo e do ponto afastado (isto é, a_{\text{próx}}-a_{\text{afast}}ó), podemos dar a expressão exata e a aproximação:
Expressão exata:
a_{\text{próx}}-a_{\text{afast}}=G M\!\left(\frac{1}{(r-R)^{2}}-\frac{1}{(r+R)^{2}}\right) = \frac{4 G M r R}{\bigl(r^{2}-R^{2}\bigr)^{2}}.ó
Para R\ll r a aproximação de primeira ordem é
\boxed{a_{\text{próx}}-a_{\text{afast}}\approx \frac{4 G M R}{r^{3}}.}ó

Passo 7

Para dar uma intuição numérica (exemplo com valores reais), usando G=6{,}674\times10^{-11}\\ \text{m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}, M=7{,}348\times10^{22}\\ \text{kg}, r=3{,}844\times10^{8}\\ \text{m} e R=6{,}371\times10^{6}\\ \text{m}, a aproximação dá:
\Delta a_{\text{próx}}\approx \frac{2GM R}{r^{3}}\approx 1{,}1\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2},ó
\Delta a_{\text{afast}}\approx -1{,}1\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2},
a_{\text{próx}}-a_{\text{afast}}\approx \frac{4GM R}{r^{3}}\approx 2{,}2\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2}.ó
Isso mostra que o efeito de maré devido à Lua é muito pequeno em termos absolutos, mas suficiente para mover grandes massas de água.

Resposta

\displaystyle \Delta a_{\text{próx}}=G M\!\left(\frac{1}{(r-R)^{2}}-\frac{1}{r^{2}}\right)\approx\frac{2GM R}{r^{3}}\approx1{,}1\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2}ó\n
\displaystyle \Delta a_{\text{afast}}=G M\!\left(\frac{1}{(r+R)^{2}}-\frac{1}{r^{2}}\right)\approx-\frac{2GM R}{r^{3}}\approx-1{,}1\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2}\n
\displaystyle a_{\text{próx}}-a_{\text{afast}}=G M\!\left(\frac{1}{(r-R)^{2}}-\frac{1}{(r+R)^{2}}\right)\approx\frac{4GM R}{r^{3}}\approx2{,}2\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2}ó

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