A Lua causa as marés porque a força gravitacional que ela exerce é diferente entre o lado da Terra mais peróximo a ela e o lado mais afastado dela. Ache a diferença nas acelerações em direção à Lua de corpos sobre os lados próximos e afastados da Terra.
Passo 1
O enunciado pede que se ache a diferença nas acelerações, na direção da Lua, de corpos situados sobre os lados mais próximo e mais afastado da Terra. Vou identificar claramente as quantidades que vamos usar (essas são as informações necessárias; o enunciado não deu valores numéricos, então trabalharemos em símbolos):
-
: constante gravitacional. -
: massa da Lua. -
: distância entre os centros da Terra e da Lua. -
: raio da Terra (distância do centro da Terra até a superfície onde estão os corpos).
O que devemos fornecer: uma expressão para a diferença das acelerações em direção à Lua entre um corpo na face próxima e um corpo na face oposta da Terra, e uma aproximação conveniente para.
Passo 2
Lembra da lei da gravitação de Newton: a aceleração de um corpo de massa desprezível, devido à Lua, a uma distância
do centro da Lua é dada por
Aqui:
-
é a aceleração direcionada para a Lua (m/s ); -
é a constante gravitacional ( ); -
é a massa da Lua; -
é a distância entre o corpo e o centro da Lua.
Vamos aplicar essa fórmula para os três pontos relevantes: centro da Terra, ponto da superfície mais próximo da Lua e ponto da superfície mais afastado.
Passo 3
As distâncias ao centro da Lua são:
- para o centro da Terra:
; - para o ponto mais próximo (face voltada para a Lua):
; - para o ponto mais afastado (face oposta):
.
Portanto as acelerações (direção Lua) são, pela fórmula:
Passo 4
A mareagem é causada pela diferença entre a aceleração em cada ponto da superfície e a aceleração do centro da Terra. Definimos as diferenças (acelerações de maré) relativas ao centro como:
Essas expressões são exatas (dadas as suposições geométricas unidimensionais).
Passo 5
Para simplificar e entender a ordem de grandeza, usamos a expansão binomial para
. Para
vale
Aplicando isso:
Substituindo nas diferenças relativas:
Voltando a
e
:
Interpretação rápida: no lado próximo a aceleração em direção à Lua é maior que a do centro (diferença positiva), e no lado oposto é menor (diferença negativa — equivalente a uma aceleração relativa apontando para fora, causando a protuberância oposta).
Passo 6
Se a pergunta for sobre a diferença direta entre as acelerações do ponto próximo e do ponto afastado (isto é,
), podemos dar a expressão exata e a aproximação:
Expressão exata:
Expressão exata:
Para
a aproximação de primeira ordem é
Passo 7
Para dar uma intuição numérica (exemplo com valores reais), usando
,
,
e
, a aproximação dá:
Isso mostra que o efeito de maré devido à Lua é muito pequeno em termos absolutos, mas suficiente para mover grandes massas de água.