2 5. Duas espiras com raios a_{1} e a_{2} estão localizadas no vácuo, dispostas de forma coaxial, distantes de uma altura h uma da outra. Encontre uma expressão aproximada para a indutância mútua L_{21} entre duas espiras, supondo que h \gg a_{1}, a_{2}.
Dica: Use o resultado do Exemplo 2 da Aula 2-1 - equação (65) - para o obter a componente z da densidade de fluxo magnético devido a espira \# 1, isto é, B_{z 1}(z). Como a_{2} \ll h, aproxime o fluxo magnético da espira \# 2 por \psi_{B 21} \approx B_{z 1}(z=h) A_{2}, com A_{2}=\pi a_{2}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas espiras circulares, coaxiais, no vácuo, separadas por uma distância axial h. As espiras têm raios \,a_{1}\, (espira #1) e \,a_{2}\, (espira #2). Foi dada a dica de usar a componente axial do campo magnético gerado pela espira #1 sobre o eixo, B_{z1}(z), e aproximar o fluxo através da espira #2 por \psi_{B21}\approx B_{z1}(z=h)\,A_{2}, sendo A_{2}=\pi a_{2}^{2}.
O que se pede: encontrar uma expressão aproximada para a indutância mútua L_{21} entre as espiras assumindo \,h\gg a_{1},a_{2}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Espira 1: raio \,a_{1}\,, corrente de excitação (chamemos de I_{1}).
  • Espira 2: raio \,a_{2}\, e área \,A_{2}=\pi a_{2}^{2}.
  • Separação axial: \,h, com \,h\gg a_{1},a_{2}.
  • Aproximação sugerida: \psi_{B21}\approx B_{z1}(h)\,A_{2}.

Passo 2

Definição e ideia básica (isso é importantíssimo para usar na prova). A indutância mútua L_{21} é definida por
L_{21}=\frac{\psi_{B21}}{I_{1}},
onde \psi_{B21} é o fluxo magnético total que atravessa a espira #2 devido à corrente I_{1} na espira #1. Em palavras: a indutância mútua é quanto fluxo por unidade de corrente a espira 1 produz “linkando” a espira 2.
Como \,a_{2}\ll h, o campo B_{z1} sobre a pequena área da espira #2 varia pouco, então podemos aproximar o fluxo por
\psi_{B21}\approx B_{z1}(z=h)\,A_{2},
com A_{2}=\pi a_{2}^{2}. Essa é uma aproximação padrão: tratar a segunda espira como uma pequena “área de prova” no ponto z=h.

Passo 3

Expressão do campo axial de uma espira circular (fórmula que o enunciado indicou usar). Para uma espira de raio \,a_{1}\, que transporta corrente \,I_{1}\,, o componente axial do campo magnético sobre o eixo, a uma distância z do centro, é
B_{z1}(z)=\frac{\mu_{0}\,I_{1}\,a_{1}^{2}}{2\bigl(a_{1}^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. (Essa expressão vem da integração da lei de Biot–Savart para uma espira circular; memorize ou use quando precisar do campo axial de uma espira.)

Passo 4

Avaliar o campo no ponto onde está a espira #2: coloque z=h na expressão anterior:
B_{z1}(h)=\frac{\mu_{0}\,I_{1}\,a_{1}^{2}}{2\bigl(a_{1}^{2}+h^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Calcular o fluxo aproximado pela espira #2 usando \psi_{B21}\approx B_{z1}(h)\,A_{2}. Substituindo B_{z1}(h) e A_{2}=\pi a_{2}^{2},
\psi_{B21}\approx \frac{\mu_{0}\,I_{1}\,a_{1}^{2}}{2\bigl(a_{1}^{2}+h^{2}\bigr)^{3/2}}\;\cdot\;\pi a_{2}^{2}.

Passo 6

Agora obtemos L_{21}=\psi_{B21}/I_{1}. Cancelando I_{1} na expressão acima,
L_{21}\approx \frac{\mu_{0}\,\pi\,a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}}{2\bigl(a_{1}^{2}+h^{2}\bigr)^{3/2}}.
Essa é uma expressão exata dentro da aproximação de fluxo uniforme sobre a espira #2 (sem ainda simplificar assumindo h\gg a_{1}).

Passo 7

Fazer a aproximação para h\gg a_{1} (simplificar para a forma assintótica). Quando h\gg a_{1} podemos expandir
\bigl(a_{1}^{2}+h^{2}\bigr)^{3/2}=h^{3}\Bigl(1+\frac{a_{1}^{2}}{h^{2}}\Bigr)^{3/2}\approx h^{3}\left(1+\frac{3}{2}\frac{a_{1}^{2}}{h^{2}}+\cdots\right).
Ao tomar apenas o termo principal (ordem dominante em 1/h), temos \bigl(a_{1}^{2}+h^{2}\bigr)^{3/2}\approx h^{3}. Substituindo na expressão de L_{21} obtemos a aproximação líder:
L_{21}\approx \frac{\mu_{0}\,\pi\,a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}}{2\,h^{3}} \qquad\text{(para \(h\gg a_{1},a_{2}\)).}

Passo 8

Interpretação física rápida e dica para prova: o decaimento em h^{-3} é o mesmo comportamento que o campo axial de um dipolo magnético em grandes distâncias; isso faz sentido porque uma espira pequena se comporta, de longe, como um dipolo magnético proporcional à sua área. Na prova, escreva primeiro a fórmula do campo axial da espira, multiplique pela área da segunda espira e divida por I_{1}: é o caminho mais curto e seguro.

Resposta

L_{21}\approx \frac{\mu_{0}\,\pi\,a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}}{2\bigl(a_{1}^{2}+h^{2}\bigr)^{3/2}}
Aproximando ainda mais para h\gg a_{1},a_{2}:
L_{21}\approx \frac{\mu_{0}\,\pi\,a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}}{2\,h^{3}}.

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