2 5. Duas espiras com raios
e
estão localizadas no vácuo, dispostas de forma coaxial, distantes de uma altura
uma da outra. Encontre uma expressão aproximada para a indutância mútua
entre duas espiras, supondo que
.
Dica: Use o resultado do Exemplo 2 da Aula 2-1 - equação (65) - para o obter a componente
da densidade de fluxo magnético devido a espira
, isto é,
. Como
, aproxime o fluxo magnético da espira
por
, com
.
Dica: Use o resultado do Exemplo 2 da Aula 2-1 - equação (65) - para o obter a componente
Passo 1
O enunciado dá duas espiras circulares, coaxiais, no vácuo, separadas por uma distância axial
. As espiras têm raios
(espira #1) e
(espira #2). Foi dada a dica de usar a componente axial do campo magnético gerado pela espira #1 sobre o eixo,
, e aproximar o fluxo através da espira #2 por
, sendo
.
O que se pede: encontrar uma expressão aproximada para a indutância mútua entre as espiras assumindo
.
O que se pede: encontrar uma expressão aproximada para a indutância mútua
Informações relevantes do enunciado:
- Espira 1: raio
, corrente de excitação (chamemos de ). - Espira 2: raio
e área . - Separação axial:
, com . - Aproximação sugerida:
.
Passo 2
Definição e ideia básica (isso é importantíssimo para usar na prova). A indutância mútua
é definida por
onde
é o fluxo magnético total que atravessa a espira #2 devido à corrente
na espira #1. Em palavras: a indutância mútua é quanto fluxo por unidade de corrente a espira 1 produz “linkando” a espira 2.
Como
, o campo
sobre a pequena área da espira #2 varia pouco, então podemos aproximar o fluxo por
com
. Essa é uma aproximação padrão: tratar a segunda espira como uma pequena “área de prova” no ponto
.
Passo 3
Expressão do campo axial de uma espira circular (fórmula que o enunciado indicou usar). Para uma espira de raio
que transporta corrente
, o componente axial do campo magnético sobre o eixo, a uma distância
do centro, é
onde
é a permeabilidade do vácuo. (Essa expressão vem da integração da lei de Biot–Savart para uma espira circular; memorize ou use quando precisar do campo axial de uma espira.)
Passo 4
Avaliar o campo no ponto onde está a espira #2: coloque
na expressão anterior:
Passo 5
Calcular o fluxo aproximado pela espira #2 usando
. Substituindo
e
,
Passo 6
Agora obtemos
. Cancelando
na expressão acima,
Essa é uma expressão exata dentro da aproximação de fluxo uniforme sobre a espira #2 (sem ainda simplificar assumindo
).
Passo 7
Fazer a aproximação para
(simplificar para a forma assintótica). Quando
podemos expandir
Ao tomar apenas o termo principal (ordem dominante em
), temos
. Substituindo na expressão de
obtemos a aproximação líder:
Passo 8
Interpretação física rápida e dica para prova: o decaimento em
é o mesmo comportamento que o campo axial de um dipolo magnético em grandes distâncias; isso faz sentido porque uma espira pequena se comporta, de longe, como um dipolo magnético proporcional à sua área. Na prova, escreva primeiro a fórmula do campo axial da espira, multiplique pela área da segunda espira e divida por
: é o caminho mais curto e seguro.
Resposta
Aproximando ainda mais para
: