Duas fontes sonoras idênticas, coerentes e em fase, F_{1} (em \theta=180^{\circ} ) e \mathrm{F}_{2} (em \theta=0^{\circ} ), são posicionadas diametralmente opostas em uma circunferência de raio R.
Se em um ponto sobre a circunferência, em \theta=60^{\circ}, é observada interferência construtiva de primeira ordem, assinale a alternativa com a relação entre o raio R e o comprimento de onda \lambda emitido pelas fontes.
a) \frac{R}{\lambda}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.
b) \frac{R}{\lambda}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
c) \frac{R}{\lambda}=\sqrt{3}-1.
d) \frac{R}{\lambda}=\sqrt{3}+1.
e) \frac{R}{\lambda}=\sqrt{3}-2.

Passo 1

O enunciado descreve duas fontes sonoras idênticas, coerentes e em fase posicionadas nos extremos de um diâmetro de raio R: \mathrm{F}_1 em \theta=180^\circ e \mathrm{F}_2 em \theta=0^\circ. No ponto P sobre a circunferência em \theta=60^\circ ocorre interferência construtiva de primeira ordem. Para resolver, precisamos usar geometria no círculo para calcular a diferença de percurso \Delta entre as distâncias d_1 e d_2 de P às fontes, e impor \Delta=\lambda.

Passo 2

Vamos primeiro achar as coordenadas de P. Sobre a circunferência de raio R em \theta=60^\circ,
P = \bigl(R\cos(60^\circ),\,R\sin(60^\circ)\bigr) = \Bigl(\tfrac{R}{2},\,\tfrac{R\sqrt3}{2}\Bigr).
As posições das fontes são \mathrm{F}_1=(-R,0) e \mathrm{F}_2=(R,0).
A distância de P até \mathrm{F}_1 vale
d_1 = \sqrt{\Bigl(\tfrac{R}{2}+R\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{R\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\Bigl(\tfrac{3R}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{R\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = R\sqrt3.
E a distância de P até \mathrm{F}_2 é
d_2 = \sqrt{\Bigl(\tfrac{R}{2}-R\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{R\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{R}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{R\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = R.

Passo 3

A diferença de percurso entre as duas fontes é
\Delta = d_1 - d_2 = R\sqrt3 - R = R(\sqrt3 - 1).

Passo 4

Para interferência construtiva de primeira ordem, a diferença de percurso deve ser igual a \lambda:
R(\sqrt3 - 1) = \lambda \quad\Longrightarrow\quad \frac{R}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt3 - 1} = \frac{\sqrt3 + 1}{(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 + 1)} = \frac{\sqrt3 + 1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{R}{\lambda} = \frac{\sqrt3 + 1}{2}, alternativa (b).

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