Duas forças, \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2}, atuam sobre o gancho. Se suas linhas de ação formam um ângulo \theta e a intensidade de cada força é F_{1}=F_{2}=F, determine a intensidade da força resultante \mathbf{F}_{R} e o ângulo entre \mathbf{F}_{R} e \mathbf{F}_{1}.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas forças \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2}, ambas de módulo F, cujas linhas de ação formam um ângulo \theta. Queremos encontrar o módulo da resultante \mathbf{F}_{R}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2} e o ângulo \alpha entre \mathbf{F}_{R} e \mathbf{F}_{1}. O conteúdo usado será composição vetorial pelo método do paralelogramo e trigonometria (lei dos cossenos e identidades trigonométricas).

Passo 2

Para achar o módulo de \mathbf{F}_{R} aplicamos a lei dos cossenos no triângulo formado pelos vetores \mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2} e \mathbf{F}_{R}. Como \|\mathbf{F}_{1}\|=\|\mathbf{F}_{2}\|=F e o ângulo entre elas é \theta, temos
\|\mathbf{F}_{R}\|^2 \;=\; F^2 + F^2 - 2\,F\,F\,\cos(\pi-\theta)
mas \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta, logo
\|\mathbf{F}_{R}\|^2 = 2F^2 + 2F^2\cos\theta = 2F^2\bigl(1+\cos\theta\bigr).
Usando a identidade 1+\cos\theta = 2\cos^2\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr), resulta
\|\mathbf{F}_{R}\|^2 = 2F^2\cdot 2\cos^2\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr) = 4F^2\cos^2\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr),
portanto
\|\mathbf{F}_{R}\| = 2F\cos\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr).

Passo 3

Para achar o ângulo \alpha entre \mathbf{F}_{R} e \mathbf{F}_{1}, usamos a projeção ou a relação
\tan\alpha \;=\; \frac{F\sin\theta}{F + F\cos\theta} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.
Mas \displaystyle\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr). Logo
\alpha = \frac{\theta}{2}.

Resposta

\|\mathbf{F}_{R}\| = 2F\cos\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr), \qquad \alpha = \frac{\theta}{2}.

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