Duas linhas uniformes de cargas estão posicionadas no espaço livre, conforme mostra a Tabela I. Sabendo que o potencial na origem é 100 V , determine o potencial no ponto P(4,1,3).
Table 1: Tabela I: Posição das linhas de cargas.
\captionsetup{labelformat=empty}
Densidade linear de carga (nC/m) Posição
8 x=1, z=2
8 x=-1, y=2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o potencial elétrico no ponto P(4,1,3), sabendo que o potencial na origem é 100\\ \text{V}. As informações dadas são:
  • Existem duas linhas uniformes de carga com densidade linear \lambda=8\\ \text{nC/m}.
  • A posição da primeira linha é dada por x=1,\\ z=2. Isso descreve a reta formada por pontos (1,y,2) — ou seja, uma linha paralela ao eixo y.
  • A posição da segunda linha é dada por x=-1,\\ y=2. Isso descreve a reta formada por pontos (-1,2,z) — ou seja, uma linha paralela ao eixo z.
  • O potencial no ponto (0,0,0) (a origem) é 100\\ \text{V}.
  • Queremos o potencial no ponto P(4,1,3).

Passo 2

Vamos aprender uma coisa essencial que vamos usar: o potencial gerado por uma linha infinita de carga (densidade linear \lambda) depende apenas da distância perpendicular r ao eixo da linha e tem a forma logarítmica. Esquematicamente:
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{R}{r}\biggr),
onde R é uma constante arbitrária que aparece porque o potencial absoluto de uma linha infinita é definido apenas até uma constante; contudo, diferenças de potencial entre dois pontos são bem definidas. Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \lambda é a densidade linear de carga (unidades: C/m). Explicando por que isso ocorre, rapidamente e de forma didática:
  • O campo elétrico radial (perpendicular à linha) de uma linha infinita é
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},
isto vem da Lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha (se quiser eu mostro a Gauss passo a passo).
  • A diferença de potencial entre dois pontos a distâncias r_1 e r_2 da linha é a integral negativa do campo:
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2} E(r)\,dr = -\int_{r_1}^{r_2}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{r_1}{r_2}\biggr).
Observe que essa expressão não depende de R; é a diferença de potencial que nos interessa quando temos uma referência conhecida (a origem, no nosso caso).

Passo 3

Usamos superposição: o potencial total é a soma das contribuições das duas linhas. Para aplicar a fórmula acima precisamos das distâncias perpendiculares de cada ponto (origem e P) a cada linha.
Linha 1: reta (1,y,2) (paralela ao eixo y).
  • Distância perpendicular de um ponto (x,y,z) a essa linha é
r_{1}=\sqrt{(x-1)^2+(z-2)^2}.
  • Para a origem (0,0,0):
r_{1}^{(0)}=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Para P(4,1,3):
r_{1}^{(P)}=\sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Linha 2: reta (-1,2,z) (paralela ao eixo z).
  • Distância perpendicular de um ponto (x,y,z) a essa linha é
r_{2}=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}.
  • Para a origem (0,0,0):
r_{2}^{(0)}=\sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Para P(4,1,3):
r_{2}^{(P)}=\sqrt{(4+1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.

Passo 4

Agora escrevemos a diferença de potencial entre P e a origem como soma das diferenças geradas por cada linha:
V(P)-V(0)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\Bigg[\ln\!\biggl(\frac{r_{1}^{(0)}}{r_{1}^{(P)}}\biggr) +\ln\!\biggl(\frac{r_{2}^{(0)}}{r_{2}^{(P)}}\biggr)\Bigg].
Podemos combinar os logs:
V(P)-V(0)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{r_{1}^{(0)}\,r_{2}^{(0)}}{r_{1}^{(P)}\,r_{2}^{(P)}}\biggr).

Passo 5

Vamos agora calcular numericamente, com cuidado nas unidades.
  • Densidade linear \lambda=8\\ \text{nC/m}=8\times10^{-9}\\ \text{C/m}.
  • Constante \varepsilon_0 e valor conveniente: sabendo que \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,987\,551\,7923\times10^{9}\\ \text{N·m}^2\!/ \text{C}^2 (constante k), segue que
\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}=2\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 2\cdot 8,987\,551\,7923\times10^{9}=1,797\,510\,3585\times10^{10}.
Logo
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}=(8\times10^{-9})\cdot(1,797\,510\,3585\times10^{10}) \approx 143,800\,8287\\ \text{V}.

Passo 6

Agora calculemos o logaritmo com os valores das distâncias já obtidas:
  • r_{1}^{(0)}=\sqrt{5}, r_{1}^{(P)}=\sqrt{10} então
\ln\!\biggl(\frac{r_{1}^{(0)}}{r_{1}^{(P)}}\biggr)=\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}\biggr)=\ln\!\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)=-\tfrac{1}{2}\ln 2\approx -0,3465735903.
  • r_{2}^{(0)}=\sqrt{5}, r_{2}^{(P)}=\sqrt{26} então
\ln\!\biggl(\frac{r_{2}^{(0)}}{r_{2}^{(P)}}\biggr)=\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{26}}\biggr)=\tfrac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{5}{26}\biggr)\approx -0,8243606354.
  • Soma dos logs:
\ln\!\biggl(\frac{r_{1}^{(0)}}{r_{1}^{(P)}}\biggr)+\ln\!\biggl(\frac{r_{2}^{(0)}}{r_{2}^{(P)}}\biggr)\approx -1,1709342257.

Passo 7

Multiplicamos o fator \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} pela soma dos logs para obter a diferença de potencial:
V(P)-V(0)\approx 143,800\,8287\cdot(-1,1709342257)\approx -168,395\\ \text{V}.
Como V(0)=100\\ \text{V}, obtemos
V(P)=V(0)+(V(P)-V(0))\approx 100-168,395\approx -68,395\\ \text{V}.

Resposta

-68,4\\ \text{V}

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