Duas linhas uniformes de cargas estão posicionadas no espaço livre, conforme mostra a Tabela I. Sabendo que o potencial na origem é 100 V , determine o potencial no ponto
.
Table 1: Tabela I: Posição das linhas de cargas.\captionsetup{labelformat=empty}
Densidade linear de carga (nC/m)
Posição
8
8
Table 1: Tabela I: Posição das linhas de cargas.
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| Densidade linear de carga (nC/m) | Posição |
| 8 |
|
| 8 |
|
Passo 1
O enunciado pede para determinar o potencial elétrico no ponto
, sabendo que o potencial na origem é
. As informações dadas são:
- Existem duas linhas uniformes de carga com densidade linear
. - A posição da primeira linha é dada por
. Isso descreve a reta formada por pontos — ou seja, uma linha paralela ao eixo . - A posição da segunda linha é dada por
. Isso descreve a reta formada por pontos — ou seja, uma linha paralela ao eixo . - O potencial no ponto
(a origem) é . - Queremos o potencial no ponto
.
Passo 2
Vamos aprender uma coisa essencial que vamos usar: o potencial gerado por uma linha infinita de carga (densidade linear
) depende apenas da distância perpendicular
ao eixo da linha e tem a forma logarítmica. Esquematicamente:
onde
é uma constante arbitrária que aparece porque o potencial absoluto de uma linha infinita é definido apenas até uma constante; contudo, diferenças de potencial entre dois pontos são bem definidas. Aqui
é a permissividade do vácuo e
é a densidade linear de carga (unidades: C/m). Explicando por que isso ocorre, rapidamente e de forma didática:
- O campo elétrico radial (perpendicular à linha) de uma linha infinita é
isto vem da Lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha (se quiser eu mostro a Gauss passo a passo).
- A diferença de potencial entre dois pontos a distâncias
e da linha é a integral negativa do campo:
Observe que essa expressão não depende de
; é a diferença de potencial que nos interessa quando temos uma referência conhecida (a origem, no nosso caso).
Passo 3
Usamos superposição: o potencial total é a soma das contribuições das duas linhas. Para aplicar a fórmula acima precisamos das distâncias perpendiculares de cada ponto (origem e
) a cada linha.
Linha 1: reta
(paralela ao eixo
).
- Distância perpendicular de um ponto
a essa linha é
- Para a origem
:
- Para
:
Linha 2: reta
(paralela ao eixo
).
- Distância perpendicular de um ponto
a essa linha é
- Para a origem
:
- Para
:
Passo 4
Agora escrevemos a diferença de potencial entre
e a origem como soma das diferenças geradas por cada linha:
Podemos combinar os logs:
Passo 5
Vamos agora calcular numericamente, com cuidado nas unidades.
- Densidade linear
. - Constante
e valor conveniente: sabendo que (constante ), segue que
Logo
Passo 6
Agora calculemos o logaritmo com os valores das distâncias já obtidas:
-
, então
-
, então
- Soma dos logs:
Passo 7
Multiplicamos o fator
pela soma dos logs para obter a diferença de potencial:
Como
, obtemos