Duas ondas planas uniformes polarizadas em \hat{x}, de intensidades diferentes, estão se propagando em direções opostas e estão superpostas:
\mathbf{E}=\hat{x}\left(e^{-j k z}+a e^{j k z}\right)
Qual potência média ( \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} ) está associada a cada onda considerada separadamente (na ausência da outra), e qual potência média está associada à combinação?

Passo 1

O enunciado dá a superposição de duas ondas planas uniformes, polarizadas em \hat{x}, uma de amplitude 1 se propagando em +z e outra de amplitude a em -z:
\mathbf{E}(z)=\hat{x}\bigl(e^{-jkz}+a\,e^{jkz}\bigr).
O objetivo é calcular a potência média por unidade de área (em \mathrm{W/m^2}) de cada onda separadamente (ou seja, em ausência da outra) e da soma. Para isso usamos o vetor de Poynting médio
\mathbf{S}_{\rm av}=\frac12\Re\{\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*\},
sabendo que, em um meio com impedância \eta, para uma onda plana unidirecional vale \mathbf{H}=\pm\frac1\eta\,\hat{y}\,E.

Passo 2

Considere primeiro a onda que se propaga em +z,
\mathbf{E}_1=\hat{x}\,e^{-jkz}, \qquad \mathbf{H}_1=\frac1\eta\,\hat{y}\,e^{-jkz}.
O vetor de Poynting médio é
\mathbf{S}_{1}=\frac12\Re\{\mathbf{E}_1\times\mathbf{H}_1^*\} =\frac12\Re\Bigl\{\hat{x}e^{-jkz}\times\hat{y}\frac1\eta e^{+jkz}\Bigr\} =\frac{1}{2\eta}\,\hat{z}.
Para a onda em -z,
\mathbf{E}_2=\hat{x}\,a\,e^{jkz}, \qquad \mathbf{H}_2=-\frac{a}{\eta}\,\hat{y}\,e^{jkz},
e
\mathbf{S}_{2}=\frac12\Re\{\mathbf{E}_2\times\mathbf{H}_2^*\} =-\frac{|a|^2}{2\eta}\,\hat{z}.

Passo 3

Em ausência de interferência entre elas, as potências médias (módulos) são:
P_1=\frac{1}{2\eta}, \qquad P_2=\frac{|a|^2}{2\eta}.

Passo 4

Para a combinação total \mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2 e \mathbf{H}=\mathbf{H}_1+\mathbf{H}_2, expande-se
\mathbf{S}_{\rm av} =\frac12\Re\{(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2)\times(\mathbf{H}_1^*+\mathbf{H}_2^*)\} =\mathbf{S}_1+\mathbf{S}_2+\frac12\Re\{\mathbf{E}_1\times\mathbf{H}_2^*+\mathbf{E}_2\times\mathbf{H}_1^*\}.
Mostra-se que os termos cruzados têm média zero, ficando
\mathbf{S}_{\rm av} =\frac{1}{2\eta}\bigl(1-|a|^2\bigr)\,\hat{z}.
Assim, a potência média da combinação é
P_{\rm tot} =\frac{1-|a|^2}{2\eta}.

Resposta

P_1=\frac{1}{2\eta},\quad P_2=\frac{|a|^2}{2\eta},\quad P_{\rm tot}=\frac{1-|a|^2}{2\eta}.

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