Uma onda plana se propagando no espaço livre pode ser caracterizada por seu campo elétrico complexo \mathbf{E}. Se \mathbf{E}=\hat{x} e^{-j \hat{y}-j 2 \hat{z}}
a. Esta é uma onda plana uniforme?
b. Qual é sua frequência (\mathrm{Hz}) ?
c. Avalie a potência média no tempo.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana no espaço livre, no formato de fase espacial, sem mostrar o fator temporal explícito. Escrevemos
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \hat{x}\,e^{-j(k_{y}y + k_{z}z)}
com k_{y}=1 rad/m e k_{z}=2 rad/m. Estamos em meio livre (permeabilidade \mu_{0}, permissividade \varepsilon_{0}) e supondo a dependência temporal e^{j\omega t} suprimida. Vamos (a) verificar se é onda plana uniforme, (b) achar a frequência \,f e (c) calcular a potência média associada (valor médio do vetor de Poynting).

Passo 2

Uma onda é dita plana uniforme quando seu vetor de onda \mathbf{k} é constante e a amplitude vetorial \mathbf{E}_0 não varia de ponto a ponto (só muda a fase). Aqui \mathbf{k}= \hat{y}\,+2\hat{z} (constante) e \mathbf{E}_0=\hat{x} (módulo constante). Logo a amplitude tem magnitude unitária em toda parte e a fase varia apenas como \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}. Portanto
Resposta a: sim, é uma onda plana uniforme.

Passo 3

Pela relação de dispersão em vácuo temos
|\mathbf{k}| = \sqrt{k_{y}^{2}+k_{z}^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}\\ \text{rad/m},
e \omega = c\,|\mathbf{k}| com c=3\times10^{8} m/s. Assim
\omega = 3\times10^{8}\times\sqrt{5}\\ \text{rad/s} \approx 6{,}708\times10^{8}\\ \text{rad/s}.
A frequência em hertz é
f = \frac{\omega}{2\pi} \approx \frac{6{,}708\times10^{8}}{2\pi} \approx 1{,}07\times10^{8}\\ \text{Hz}.
Resposta b: f\approx1{,}07\times10^{8} Hz.

Passo 4

A potência média transportada por uma onda plana em vácuo é dada pelo módulo do vetor de Poynting médio
S_{\text{médio}} =\frac{|E_{0}|^{2}}{2\,\eta_{0}},é
onde \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}\approx 120\pi\approx377, \Omega e |E_{0}|=1 V/m. Assim
S_{\text{médio}} =\frac{1^{2}}{2\times377} \approx \frac{1}{754} \approx 1{,}33\times10^{-3}\\ \text{W/m}^{2}.é
Resposta c: S_{\text{médio}}\approx1{,}33\times10^{-3}é,W/m ^2.

Resposta

a) Sim, é uma onda plana uniforme.
b) f\approx1{,}07\times10^{8},Hz.
c) S_{\text{médio}}\approx1{,}33\times10^{-3}é,W/m ^2.

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