Duas ondas senoidais idênticas, se propagando num mesmo sentido em um meio homogêneo, interferem-se uma na outra.
A amplitude de cada onda é de 8 mm e estão defasadas em 0^{\circ}. Determine a amplitude da onda resultante e escreva qual o tipo de interferência.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais idênticas que se propagam no mesmo sentido em um meio homogêneo. As informações importantes são:
  • Amplitude de cada onda: 8\\ \mathrm{mm}.
  • Defasagem entre as ondas: 0^\circ (ou seja, estão em fase).
    As perguntas são:
  • Determinar a amplitude da onda resultante.
  • Dizer qual é o tipo de interferência (por exemplo, construtiva ou destrutiva).

Passo 2

Vamos escrever matematicamente as duas ondas como funções do tempo (escolhendo uma origem de fase conveniente). Como elas são idênticas e se propagam igual, podemos representar:
y_1 = A\sin(\omega t)
y_2 = A\sin(\omega t + \varphi)
Aqui:
  • A é a amplitude de cada onda (no nosso caso A=8\\ \mathrm{mm}),
  • \omega é a frequência angular (não precisamos do valor numérico aqui),
  • \varphi é a diferença de fase entre elas (no nosso caso \varphi=0^\circ),
  • t é o tempo.
    O objetivo é somar y_1 e y_2 e identificar a amplitude máxima da soma.

Passo 3

Para somar duas senóides com fases diferentes usamos a identidade trigonométrica
\sin u + \sin v = 2\sin\!\bigg(\frac{u+v}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{u-v}{2}\bigg).
Vamos aplicar essa identidade com u=\omega t e v=\omega t+\varphi. Calculamos:
\frac{u+v}{2}=\frac{2\omega t+\varphi}{2}=\omega t+\frac{\varphi}{2},
\frac{u-v}{2}=\frac{-\varphi}{2}=-\frac{\varphi}{2}.
Como \cos é função par, temos \cos\!\big(-\frac{\varphi}{2}\big)=\cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big). Aplicando a identidade:
y_1+y_2 = A\sin(\omega t) + A\sin(\omega t+\varphi) = 2A\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\sin\!\bigg(\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg).
Portanto a soma é uma senóide com amplitude efetiva
A_{\text{result}} = 2A\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg).

Passo 4

Agora substituímos a defasagem dada pelo enunciado: \varphi=0^\circ. Então
\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)=\cos\!\bigg(\frac{0^\circ}{2}\bigg)=\cos(0^\circ)=1.
Logo
A_{\text{result}} = 2A \cdot 1 = 2A.
Com A=8\\ \mathrm{mm} obtemos
A_{\text{result}} = 2\cdot 8\\ \mathrm{mm} = 16\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Classificação do tipo de interferência: quando a diferença de fase \varphi=0^\circ as cristas das duas ondas coincidem e as amplitudes somam, aumentando a amplitude máxima. Isso chama-se interferência construtiva. Uma observação útil: a intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude, então a intensidade resultante cresce em fator
\frac{(2A)^2}{A^2}=4,
ou seja, a intensidade total é quatro vezes a intensidade de uma única onda idêntica.

Resposta

16\\ \mathrm{mm}
Interferência construtiva

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