[1,0] Uma máquina de lançamento de bolas de tênis é projetada para lançar a bola a uma velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na horizontal, com uma rotação de 300 rpm no sentido horário. Determina as velocidades angulares das rodas A e B. Não ocorre deslizando entre as rodas e a bola. As rodas possuem raio de 0,18 \mathrm{~m} e a bola de tênis possui diâmetro de 0,07 m.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as velocidades angulares das rodas A e B. Informações dadas (peguei os dados do enunciado / imagem):
  • velocidade linear de lançamento da bola: v=30\\ \mathrm{m/s};
  • rotação da bola: 300\\ \mathrm{rpm} no sentido horário;
  • raio das rodas: R=0,18\\ \mathrm{m};
  • diâmetro da bola: 0,07\\ \mathrm{m}, portanto raio da bola r=0,035\\ \mathrm{m};
  • não ocorre deslizamento entre cada roda e a bola (contatos sem escorregamento).
    A tarefa é encontrar \omega_A e \omega_B (velocidades angulares das rodas A e B). Não resolvo nada ainda, só organizei o que temos.

Passo 2

Converto a rotação da bola de 300\\ \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s}. A relação é
\omega_{b} = \mathrm{rpm}\cdot\frac{2\pi}{60}.
Portanto
\omega_{b}=300\cdot\frac{2\pi}{60}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 31,416\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calculo a velocidade linear associada à rotação da superfície da bola (velocidade tangencial da superfície):
\omega_{b}\,r = (10\pi)\cdot 0,035 = 0,35\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 1,0996\\ \mathrm{m/s}.
Isto é a velocidade, relativa ao centro da bola, da superfície na parte superior ou inferior (com sinal dependendo do ponto).

Passo 4

Explico a condição de não deslizamento (aula curta e prática):
  • Em um ponto de contato entre duas superfícies sem deslizamento, as velocidades do mesmo ponto material na linha de contato são iguais (velocidade do ponto do casco da roda = velocidade do ponto da superfície da bola, ambas medidas em relação ao solo).
  • Para a bola que se desloca com velocidade do centro v para a direita e gira com \omega_{b}, a velocidade da sua superfície no ponto superior é v mais ou menos \omega_{b}r, dependendo do sentido da rotação; mesma lógica para o ponto inferior com sinal oposto.
  • No nosso caso o enunciado diz que a bola gira “no sentido horário”. Isso implica (escolha de sinal consistente) que a superfície superior da bola tem velocidade em relação ao centro no sentido contrário ao deslocamento, e a superfície inferior tem velocidade no sentido do deslocamento. Assim:
    • velocidade do ponto de contato superior da bola em relação ao solo: v - \omega_{b}r;
    • velocidade do ponto de contato inferior da bola em relação ao solo: v + \omega_{b}r.

Passo 5

Agora aplico igualdade das velocidades nos dois contatos (topo com a roda A e inferior com a roda B):
  • velocidade tangencial da superfície da roda A (na posição de contato) = velocidade do ponto superior da bola,
  • velocidade tangencial da superfície da roda B (na posição de contato) = velocidade do ponto inferior da bola.
Escrevo as equações:
v_A=\omega_A R = v - \omega_{b}r,
v_B=\omega_B R = v + \omega_{b}r.
Aqui v_A e v_B são as velocidades lineares das beiras das rodas no ponto de contato.

Passo 6

Substituo os valores numéricos em metros/segundo:
\omega_{b}r = 0,35\pi\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{já calculado})\approx 1,0996\\ \mathrm{m/s}.á
Então
v_A = 30 - 0,35\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 28,9004\\ \mathrm{m/s},
v_B = 30 + 0,35\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 31,0996\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Passo das velocidades lineares das rodas para velocidades angulares:
\omega_A=\frac{v_A}{R}=\frac{30-0,35\pi}{0,18}\\ \mathrm{rad/s},
\omega_B=\frac{v_B}{R}=\frac{30+0,35\pi}{0,18}\\ \mathrm{rad/s}.
Faço os cálculos numéricos:
\omega_A\approx\frac{28,9004}{0,18}\approx 160,56\\ \mathrm{rad/s},
\omega_B\approx\frac{31,0996}{0,18}\approx 172,78\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Converto para rotações em rpm (caso prefira rpm). A relação é \mathrm{rpm}=\omega\cdot\frac{60}{2\pi}=\omega\cdot\frac{30}{\pi}. Assim:
\omega_A\approx 160,56\\ \mathrm{rad/s}\approx 1533,11\\ \mathrm{rpm},
\omega_B\approx 172,78\\ \mathrm{rad/s}\approx 1650,89\\ \mathrm{rpm}.

Passo 9

Interpretação final (rápida e prática): a roda B (inferior) deve girar um pouco mais rápido que a roda A (superior), porque a rotação da bola (horário) faz com que o ponto inferior da bola tenha velocidade adicional na direção de lançamento, exigindo uma borda inferior mais rápida para manter o contato sem deslizamento. Ambas as bordas, no ponto de contato, movem-se para a direita para impulsionar a bola.

Resposta

\displaystyle \omega_A \approx 160,56\\ \mathrm{rad/s}\approx 1533,11\\ \mathrm{rpm}\n \displaystyle \omega_B \approx 172,78\\ \mathrm{rad/s}\approx 1650,89\\ \mathrm{rpm}

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