Uma máquina de lançamento de bolas de tênis é projetada para lançar a bola a uma velocidade de
na horizontal, com uma rotação de 300 rpm no sentido horário. Determina as velocidades angulares das rodas
e
. Não ocorre deslizando entre as rodas e a bola. As rodas possuem raio de
e a bola de tênis possui diâmetro de 0,07 m.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as velocidades angulares das rodas
e
. Informações dadas (peguei os dados do enunciado / imagem):
- velocidade linear de lançamento da bola:
; - rotação da bola:
no sentido horário; - raio das rodas:
; - diâmetro da bola:
, portanto raio da bola ; - não ocorre deslizamento entre cada roda e a bola (contatos sem escorregamento).
A tarefa é encontrare (velocidades angulares das rodas A e B). Não resolvo nada ainda, só organizei o que temos.
Passo 2
Converto a rotação da bola de
para
. A relação é
Portanto
Passo 3
Calculo a velocidade linear associada à rotação da superfície da bola (velocidade tangencial da superfície):
Isto é a velocidade, relativa ao centro da bola, da superfície na parte superior ou inferior (com sinal dependendo do ponto).
Passo 4
Explico a condição de não deslizamento (aula curta e prática):
- Em um ponto de contato entre duas superfícies sem deslizamento, as velocidades do mesmo ponto material na linha de contato são iguais (velocidade do ponto do casco da roda = velocidade do ponto da superfície da bola, ambas medidas em relação ao solo).
- Para a bola que se desloca com velocidade do centro
para a direita e gira com , a velocidade da sua superfície no ponto superior é mais ou menos , dependendo do sentido da rotação; mesma lógica para o ponto inferior com sinal oposto. - No nosso caso o enunciado diz que a bola gira “no sentido horário”. Isso implica (escolha de sinal consistente) que a superfície superior da bola tem velocidade em relação ao centro no sentido contrário ao deslocamento, e a superfície inferior tem velocidade no sentido do deslocamento. Assim:
- velocidade do ponto de contato superior da bola em relação ao solo:
; - velocidade do ponto de contato inferior da bola em relação ao solo:
.
- velocidade do ponto de contato superior da bola em relação ao solo:
Passo 5
Agora aplico igualdade das velocidades nos dois contatos (topo com a roda
e inferior com a roda
):
- velocidade tangencial da superfície da roda
(na posição de contato) = velocidade do ponto superior da bola, - velocidade tangencial da superfície da roda
(na posição de contato) = velocidade do ponto inferior da bola.
Escrevo as equações:
Aqui
e
são as velocidades lineares das beiras das rodas no ponto de contato.
Passo 6
Substituo os valores numéricos em metros/segundo:
Então
Passo 7
Passo das velocidades lineares das rodas para velocidades angulares:
Faço os cálculos numéricos:
Passo 8
Converto para rotações em rpm (caso prefira rpm). A relação é
. Assim:
Passo 9
Interpretação final (rápida e prática): a roda
(inferior) deve girar um pouco mais rápido que a roda
(superior), porque a rotação da bola (horário) faz com que o ponto inferior da bola tenha velocidade adicional na direção de lançamento, exigindo uma borda inferior mais rápida para manter o contato sem deslizamento. Ambas as bordas, no ponto de contato, movem-se para a direita para impulsionar a bola.