Duas partículas, A e B, têm a mesma carga Q. Para que a força exercida pelas duas cargas sobre uma terceira carga seja nula, a terceira carga deve ser colocada
Escolha uma opção:
◯ a. em qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta que liga Q a -Q.
◯ b. na reta que passa por Q e -Q, no lado de -Q oposto a Q.
◯ c. Nenhuma das respostas acima (o problema não tem solução).
◯ d. no ponto médio do segmento de reta que liga Q a -Q.
◯ e. na reta que passa por Q e -Q, no lado de Q oposto a -Q.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Duas partículas, A e B, têm a mesma carga \,Q.
  • Quer saber onde colocar uma terceira carga (chamo-a de q) para que a força resultante exercida por A e B sobre q seja nula.
  • As alternativas de resposta são as listadas no enunciado (a, b, c, d, e).
Resumo do que precisa ser respondido: encontrar a(s) posição(ões) relativa a A e B onde a soma vetorial das forças elétricas de A e B sobre a carga q é igual a zero.

Passo 2

Como gosto de desenhar mentalmente, coloco A e B alinhadas no eixo x, simetricamente em relação à origem:
  • A em (-a,0),
  • B em (+a,0),
    com 2a sendo a distância entre A e B. Essa escolha não altera a generalidade — só facilita as contas.
Vou usar a lei de Coulomb (em forma vetorial). Para duas cargas puntiformes Q_1 e Q_2 separadas por distância r, a força elétrica que Q_1 exerce sobre Q_2 é
\vec{F}=k\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\,\hat{r},
onde k é a constante eletrostática, r é a distância entre as cargas e \hat{r} é o versor que aponta de Q_1 para Q_2. Aqui vou chamar a terceira carga de q (pode ser positiva ou negativa; a posição de equilíbrio não depende do sinal de q, apenas da direção das forças).
Para que as forças de A e B sobre q se anulem é necessário que as duas forças tenham:
  1. mesma intensidade, e
  2. direções opostas.
Vou testar posições estratégicas onde isso pode acontecer.

Passo 3

Primeiro teste: posição de q sobre a reta que liga A e B (eixo x), ou seja, q em (x,0).
  • Distância de q a A é |x+a|.
  • Distância de q a B é |x-a|.
As magnitudes das forças são
F_A = k\frac{|Q\,q|}{(x+a)^2},\qquad F_B = k\frac{|Q\,q|}{(x-a)^2}.
Na reta x-axis, as direções de \vec{F}_A e \vec{F}_B são opostas quando q estiver entre A e B (pois cada carga repulsa ou atrai q em sentidos contrários). Logo, para anulação é preciso apenas igualar magnitudes:
\frac{1}{(x+a)^2} = \frac{1}{(x-a)^2}.
Tomando raízes positivas (as distâncias são positivas), isso dá
|x+a| = |x-a|.
Se q está entre A e B, então -a < x < a e podemos remover os módulos:
x+a = a-x \quad\Rightarrow\quad 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto, sobre a reta que une A e B, o único ponto entre as cargas que anula a força resultante é o ponto médio x=0 (o ponto exatamente no meio de A e B).
Se q estiver fora do segmento (isto é, x>a ou x<-a), então as direções das forças provocadas por A e B são iguais (ambas para a mesma direção), então não há como as forças se cancelarem (soma de vetores com mesma direção e sentido não pode ser zero, salvo magnitudes nulas, o que não acontece). Logo, fora do segmento não existe ponto de equilíbrio.

Passo 4

Segundo teste: posição de q sobre a mediatriz perpendicular do segmento AB, isto é, em (0,y) com y\neq 0.
  • Distância de q a A e a B é a mesma: \sqrt{a^2+y^2}. Logo as magnitudes das forças provenientes de A e B são iguais.
  • Mas agora os vetores \vec{F}_A e \vec{F}_B formam um par simétrico: suas componentes horizontais (em x) se cancelam entre si, enquanto as componentes verticais (em y) têm o mesmo sentido (ambas para cima ou ambas para baixo), portanto se somam, gerando uma força resultante não nula.
Em termos algébricos: componente vertical de cada força tem magnitude
F_y = k\frac{|Q\,q|}{(a^2+y^2)}\cdot\frac{|y|}{\sqrt{a^2+y^2}},
e os sinais são iguais para as duas forças. Assim a soma das componentes verticais é não nula quando y\neq 0. Só se y=0 essa componente vertical desaparece — voltamos ao ponto médio.
Portanto, qualquer ponto da mediatriz com y\neq 0 não anula a força resultante. O único ponto comum entre a mediatriz e a linha que liga A e B é o ponto médio (0,0).

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão intuitiva:
  • Para as forças de duas cargas iguais se anularem sobre uma terceira, elas devem ter mesma intensidade e sentidos opostos.
  • Igualdade de intensidade exige que a terceira carga esteja equidistante de A e B. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento que os une.
  • Direções opostas das forças exigem que os vetores apontem ao longo da mesma linha mas em sentidos contrários — isso só ocorre quando a carga q está no segmento que liga A e B, exatamente entre elas.
  • A interseção dessas duas condições (estar equidistante e estar na reta entre as cargas) é o ponto médio do segmento AB.
Logo a única posição onde a força resultante é nula é o ponto médio entre as duas cargas iguais.

Resposta

(d)

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