Duas partículas, A e B, têm a mesma carga
. Para que a força exercida pelas duas cargas sobre uma terceira carga seja nula, a terceira carga deve ser colocada
Escolha uma opção:
◯ a. em qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta que liga
a
.
◯ b. na reta que passa por
e
, no lado de
oposto a
.
◯ c. Nenhuma das respostas acima (o problema não tem solução).
◯ d. no ponto médio do segmento de reta que liga
a
.
◯ e. na reta que passa por
e
, no lado de
oposto a
.
◯ a. em qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta que liga
◯ b. na reta que passa por
◯ c. Nenhuma das respostas acima (o problema não tem solução).
◯ d. no ponto médio do segmento de reta que liga
◯ e. na reta que passa por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Duas partículas,
e , têm a mesma carga . - Quer saber onde colocar uma terceira carga (chamo-a de
) para que a força resultante exercida por e sobre seja nula. - As alternativas de resposta são as listadas no enunciado (a, b, c, d, e).
Resumo do que precisa ser respondido: encontrar a(s) posição(ões) relativa a
e
onde a soma vetorial das forças elétricas de
e
sobre a carga
é igual a zero.
Passo 2
Como gosto de desenhar mentalmente, coloco
e
alinhadas no eixo
, simetricamente em relação à origem:
-
em , -
em ,
comsendo a distância entre e . Essa escolha não altera a generalidade — só facilita as contas.
Vou usar a lei de Coulomb (em forma vetorial). Para duas cargas puntiformes
e
separadas por distância
, a força elétrica que
exerce sobre
é
onde
é a constante eletrostática,
é a distância entre as cargas e
é o versor que aponta de
para
. Aqui vou chamar a terceira carga de
(pode ser positiva ou negativa; a posição de equilíbrio não depende do sinal de
, apenas da direção das forças).
Para que as forças de
e
sobre
se anulem é necessário que as duas forças tenham:
- mesma intensidade, e
- direções opostas.
Vou testar posições estratégicas onde isso pode acontecer.
Passo 3
Primeiro teste: posição de
sobre a reta que liga
e
(eixo
), ou seja,
em
.
- Distância de
a é . - Distância de
a é .
As magnitudes das forças são
Na reta
-axis, as direções de
e
são opostas quando
estiver entre
e
(pois cada carga repulsa ou atrai
em sentidos contrários). Logo, para anulação é preciso apenas igualar magnitudes:
Tomando raízes positivas (as distâncias são positivas), isso dá
Se
está entre
e
, então
e podemos remover os módulos:
Portanto, sobre a reta que une
e
, o único ponto entre as cargas que anula a força resultante é o ponto médio
(o ponto exatamente no meio de
e
).
Se
estiver fora do segmento (isto é,
ou
), então as direções das forças provocadas por
e
são iguais (ambas para a mesma direção), então não há como as forças se cancelarem (soma de vetores com mesma direção e sentido não pode ser zero, salvo magnitudes nulas, o que não acontece). Logo, fora do segmento não existe ponto de equilíbrio.
Passo 4
Segundo teste: posição de
sobre a mediatriz perpendicular do segmento
, isto é, em
com
.
- Distância de
a e a é a mesma: . Logo as magnitudes das forças provenientes de e são iguais. - Mas agora os vetores
e formam um par simétrico: suas componentes horizontais (em ) se cancelam entre si, enquanto as componentes verticais (em ) têm o mesmo sentido (ambas para cima ou ambas para baixo), portanto se somam, gerando uma força resultante não nula.
Em termos algébricos: componente vertical de cada força tem magnitude
e os sinais são iguais para as duas forças. Assim a soma das componentes verticais é não nula quando
. Só se
essa componente vertical desaparece — voltamos ao ponto médio.
Portanto, qualquer ponto da mediatriz com
não anula a força resultante. O único ponto comum entre a mediatriz e a linha que liga
e
é o ponto médio
.
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão intuitiva:
- Para as forças de duas cargas iguais se anularem sobre uma terceira, elas devem ter mesma intensidade e sentidos opostos.
- Igualdade de intensidade exige que a terceira carga esteja equidistante de
e . O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento que os une. - Direções opostas das forças exigem que os vetores apontem ao longo da mesma linha mas em sentidos contrários — isso só ocorre quando a carga
está no segmento que liga e , exatamente entre elas. - A interseção dessas duas condições (estar equidistante e estar na reta entre as cargas) é o ponto médio do segmento
.
Logo a única posição onde a força resultante é nula é o ponto médio entre as duas cargas iguais.
Resposta
(d)