As partículas 1 , de carga q_{1}, e 2 , de carga q_{2}, estão no eixo x, com a partícula 1 em x=a e a partícula 2 em x=-2 a. Para que a resultante da força exercida pelas duas partículas sobre uma terceira partícula, situada na origem, seja nula, devemos ter q_{2}=
Escolha uma opção:
◯ a. -2 q_{1}
◯ b. 4 q_{1}
◯ C. -q_{1} / 4
◯ d. 2 q_{1}
◯ e. -4 q_{1}

Passo 1

O enunciado dá duas partículas pontuais sobre o eixo x:
  • Partícula 1: carga q_{1} em x=a.
  • Partícula 2: carga q_{2} em x=-2a.
    Há uma terceira partícula (de carga não especificada) situada na origem x=0.
    O que o enunciado pede: determinar q_{2} em função de q_{1} de modo que a força resultante exercida pelas partículas 1 e 2 sobre a partícula na origem seja nula.

Passo 2

Vamos escrever a lei de Coulomb (forma escalar com sinal, para o eixo x). A força elétrica que uma carga q_i exerce sobre uma carga teste q separada por distância r tem magnitude
F = k\frac{|q_i q|}{r^{2}},
onde k é a constante eletrostática. Para trabalhar com sinais e direção no eixo x podemos usar a forma
F_i = k\frac{q_i q}{r_i^{2}}\,\hat{u}_i,
onde r_i é a distância entre a carga q_i e a carga no ponto considerado, e \hat{u}_i é o versor (unitário) apontando de q_i para a carga no ponto onde calculamos a força. Aqui vamos escolher o sentido positivo como para a direita ( +x).

Passo 3

Identificar distâncias e direções (pegando os dados do enunciado):
  • Distância da partícula 1 (em x=a) até a origem: r_1 = |0-a| = a.
    O vetor que vai de q_1 (em x=a) para a carga na origem aponta para a esquerda, logo \hat{u}_1 = -1.
  • Distância da partícula 2 (em x=-2a) até a origem: r_2 = |0-(-2a)| = 2a.
    O vetor que vai de q_2 (em x=-2a) para a carga na origem aponta para a direita, logo \hat{u}_2 = +1.

Passo 4

Escrever as forças (algebricamente, usando o mesmo sinal do produto q_i q e o versor):
F_1 = k\frac{q_{1}\,q}{a^{2}}(-1) = -k\frac{q_{1}q}{a^{2}},
F_2 = k\frac{q_{2}\,q}{(2a)^{2}}(+1) = k\frac{q_{2}q}{4a^{2}}.
Aqui q é a carga da partícula na origem (não foi dada no enunciado), e preservamos o seu símbolo porque as forças dependem proporcionalmente de q.

Passo 5

A condição para que a resultante seja nula é F_1+F_2=0. Somando as expressões:
-k\frac{q_{1}q}{a^{2}} + k\frac{q_{2}q}{4a^{2}} = 0.
Fatorando k, q e a^{-2} (todos não-nulos salvo caso trivial q=0 que não interessa para a relação entre q_1 e q_2):
- q_{1} + \frac{q_{2}}{4} = 0.
Isolando q_{2}:
\frac{q_{2}}{4} = q_{1} \quad\Rightarrow\quad q_{2} = 4\,q_{1}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de sentido: a partícula 2 precisa ter quatro vezes a carga de 1 (mesmo sinal) porque ela está a uma distância duas vezes maior da origem, e a força decai com o quadrado da distância; como (2a)^{2} = 4a^{2}, a partícula 2 precisa de carga 4 vezes maior para gerar a mesma magnitude de força (no sentido oposto) sobre a carga na origem. Assim a opção correta é a que dá q_{2}=4q_{1}.

Resposta

b. 4 q_{1}

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