Duas partículas carregadas estão localizadas próximas da origem em um sistema de coordenadas x y z. A partícula 1 possui uma carga +q e está localizada no eixo x na posição x=+d. A partícula 2 possui uma carga desconhecida e uma localização desconhecida. O módulo do campo elétrico na origem é q /\left(2 \pi \epsilon_{0} d^{2}\right), e o potencial eletrostático na origem, relativo a V=0 no infinito, é +3 q /\left(4 \pi \epsilon_{0} d\right).
Se a partícula 2 está no eixo x quais serão sua carga e sua localização?

Passo 1

O enunciado descreve duas cargas pontuais sobre o eixo x: a partícula 1 tem carga +q em x=+d e a partícula 2 tem carga q_2 em x=x_2. Sabemos que, no ponto O (origem), o módulo do campo elétrico resultante é
\bigl|E(O)\bigr|=\frac{q}{2\pi\epsilon_0\,d^2}
e o potencial eletrostático resultante (tomando V(\infty)=0) é
V(O)=\frac{3q}{4\pi\epsilon_0\,d}.
O objetivo é encontrar q_2 e x_2, supondo que a partícula 2 também esteja no eixo x.

Passo 2

Escrevemos a soma dos potenciais no ponto O. Cada carga gera
V_1=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d}, \qquad V_2=\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0\,|x_2|},
logo
V_1+V_2 =\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d} +\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0\,|x_2|} =\frac{3q}{4\pi\epsilon_0\,d}.
Multiplicando por 4\pi\epsilon_0 obtemos a relação
\frac{q}{d} \;+\;\frac{q_2}{|x_2|} =\frac{3q}{d} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_2}{|x_2|}=\frac{2q}{d}. \tag{1}

Passo 3

Escrevemos a soma vetorial dos campos no ponto O. Usando o eixo x com sentido positivo para a direita, o campo da carga +q em x=+d é
E_1=-\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d^2}\,\hat\imath,
e o campo da carga q_2 em x=x_2 é
E_2 =-\,\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0\,x_2^2}\,\mathrm{sign}(x_2)\,\hat\imath.
O resultado total deve ter módulo
\bigl|E_1+E_2\bigr| =\frac{q}{2\pi\epsilon_0\,d^2} =2\;\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d^2}
e apontar para a esquerda, isto é,
E_1+E_2=-\,2\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d^2}\,\hat\imath.
Igualando componentes em x (multiplicando por 4\pi\epsilon_0) vem
-\,\frac{q}{d^2} \;-\; \frac{q_2\,\mathrm{sign}(x_2)}{x_2^2} = -\,2\,\frac{q}{d^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_2\,\mathrm{sign}(x_2)}{x_2^2} =\frac{q}{d^2}. \tag{2}

Passo 4

Das equações (1) e (2) resolvemos para q_2 e x_2. Da equação (1) temos
q_2=\frac{2q}{d}\,|x_2|.
Substituindo em (2):
\frac{\bigl(2q\,|x_2|/d\bigr)\,\mathrm{sign}(x_2)}{x_2^2} =\frac{q}{d^2} \;\Longrightarrow\; \frac{2q\,\mathrm{sign}(x_2)}{d\,|x_2|} =\frac{q}{d^2} \;\Longrightarrow\; |x_2|=2d\,\mathrm{sign}(x_2).
Como |x_2|>0, segue \mathrm{sign}(x_2)=+1 e x_2=+2d. Então
q_2=\frac{2q}{d}\,(2d)=4q.

Resposta

A partícula 2 tem carga q_2=+4q e está localizada em x=+2d.

Exercícios relacionados