Duas partículas carregadas estão localizadas próximas da origem em um sistema de coordenadas x y z. A partícula 1 possui uma carga +q e está localizada no eixo x na posição x=+d. A partícula 2 possui uma carga desconhecida e uma localização desconhecida. O módulo do campo elétrico na origem é q /\left(2 \pi \epsilon_{0} d^{2}\right), e o potencial eletrostático na origem, relativo a V=0 no infinito, é +3 q /\left(4 \pi \epsilon_{0} d\right).
Se a partícula 2 está no eixo y, quais serão sua carga e sua localização? Determine todas as soluções possíveis.

Passo 1

Temos duas partículas de cargas pontuais. A partícula 1 tem carga +q e está em (d,0,0). A partícula 2 tem carga q_2 e está em (0,y,0). No ponto (0,0,0) sabemos que o módulo do campo elétrico é
|\vec E|=\frac{q}{2\pi\epsilon_0\,d^2}
e o potencial eletrostático é
V=\frac{3q}{4\pi\epsilon_0\,d}
Relacione essas condições para achar q_2 e y.

Passo 2

O campo total em (0,0,0) é a soma vetorial de \vec E_1 (de +q) e \vec E_2 (de q_2). Temos \vec E_1 aponta para -\hat x com módulo
E_1=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d^2}
e \vec E_2 aponta para -\sgn(y)\,\hat y com módulo
E_2=\frac{|q_2|}{4\pi\epsilon_0\,y^2}\,.
Como são ortogonais,
|\vec E|=\sqrt{E_1^2+E_2^2} =\sqrt{\Bigl(\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d^2}\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0\,y^2}\Bigr)^2}
deve igualar \dfrac{q}{2\pi\epsilon_0\,d^2}.

Passo 3

Igualando os quadrados dos módulos:
\Bigl(\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d^2}\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0\,y^2}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{q}{2\pi\epsilon_0\,d^2}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{q_2^2\,d^4}{q^2\,y^4}=4
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\frac{q_2^2\,d^4}{q^2\,y^4}=3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{|q_2|}{q} =\sqrt{3}\,\frac{y^2}{d^2}\,.

Passo 4

O potencial em (0,0,0) é a soma escalar
V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,d}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0\,|y|} \;=\;\frac{3q}{4\pi\epsilon_0\,d}
que dá
\frac{q_2}{|y|}=\frac{2q}{d} \quad\Longrightarrow\quad q_2=\frac{2q}{d}\,|y|\,.

Passo 5

Das duas relações \,|q_2|/q=\sqrt3\,(y^2/d^2) e q_2=2q\,|y|/d:
– se q_2>0 então
\sqrt3\,\frac{y^2}{d^2}=\frac{2\,|y|}{d} \;\Longrightarrow\; |y|=\frac{2d}{\sqrt3} \quad\text{e}\quad q_2=\frac{2q}{d}\,\frac{2d}{\sqrt3} =\frac{4q}{\sqrt3}\,.
A escolha q_2<0 não satisfaz a condição do potencial com V>0.

Passo 6

Concluímos que a partícula 2 deve ter carga positiva
q_2=\frac{4q}{\sqrt3}
e pode estar em qualquer um dos dois pontos do eixo y a distância
|y|=\frac{2d}{\sqrt3}\,,
isto é, em \bigl(0,+\tfrac{2d}{\sqrt3},0\bigr) ou em \bigl(0,-\tfrac{2d}{\sqrt3},0\bigr).

Resposta

A partícula 2 tem q_2=+\tfrac{4q}{\sqrt3} e está localizada em (0,\;+\tfrac{2d}{\sqrt3},0) ou (0,\;-\tfrac{2d}{\sqrt3},0).

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