1. Duas partículas partem da origem do eixo s no instante t=0 e movem-se ao longo desse eixo, de acordo com as fórmulas s_{1}=t^{2}-6 t e s_{2}=8 t-t^{2}, onde s_{1} e s_{2} são medidos em metros e t, em segundos.
    (a) Quando é que as duas partículas têm a mesma velocidade?
    (b) Quais são as velocidades das duas partículas nos instantes em que elas têm a mesma posição?
    (a) Calculando a derivada pela razão incremental da função genérica s_{i}=a t^{2}+b t :
    \frac{d s_{i}}{d t}=s_{i}{ }^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s_{i}(t+\Delta t)-s_{i}(t)}{\Delta t}
    \frac{d s_{i}}{d t}=s_{i}^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{a(t+\Delta t)^{2}+b(t+\Delta t)-a t^{2}-b t}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{2 a t+b+a \Delta t}{\Delta t}=2 a t+b
Assim, se s_{i}{ }^{\prime}(t)=v_{i}(t) temos v_{1}=2 t-6 e v_{2}=8-2 t
v_{1}=v_{2}
2 t-6=8-2 t
4 t=14
t=\frac{14}{4}=3,5 s
(b) Com s_{1}=s_{2} tem-se:
\begin{aligned} & t^{2}-6 t=8 t-t^{2} \\\ & 2 t^{2}-14 t=0 \\\ & t(2 t-14)=0 \\\ & t \in\{7,0\} \\\ & v_{1}(7)=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad v_{1}(0)=-6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ & v_{2}(7)=-6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad v_{2}(0)=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas partículas que se movem segundo
s_{1}(t)=t^{2}-6\,t, \qquad s_{2}(t)=8\,t - t^{2},
e pede:
(a) quando elas têm a mesma velocidade,
(b) quais são as velocidades nos instantes em que elas têm a mesma posição.
Para isso, vamos usar derivadas para obter as velocidades e resolver equações algébricas.

Passo 2

A velocidade de cada partícula é a derivada de s_{i}(t). Como s_{i}(t)=a\,t^{2}+b\,t, vale a regra
v_{i}(t)=\frac{d s_{i}}{d t}=2\,a\,t + b.
No caso de
s_{1}(t)=t^{2}-6\,t \quad\implies\quad v_{1}(t)=2\cdot1\cdot t + (-6)=2\,t-6,
s_{2}(t)=8\,t - t^{2} \quad\implies\quad v_{2}(t)=2\cdot(-1)\cdot t + 8=8-2\,t.

Passo 3

Para achar quando v_{1}(t)=v_{2}(t), resolvemos
2\,t - 6 = 8 - 2\,t \quad\Longrightarrow\quad 4\,t = 14 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{14}{4} = 3{,}5\\ \text{s}.

Passo 4

Para achar os instantes em que s_{1}(t)=s_{2}(t), resolvemos
t^{2}-6\,t = 8\,t - t^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\,t^{2}-14\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t\,(2\,t-14)=0
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t=0 \quad\text{ou}\quad t=7\\ \text{s}.

Passo 5

Basta agora avaliar v_{1}(t) e v_{2}(t) nesses instantes:
Para t=0:
v_{1}(0)=2\cdot0-6=-6\\ \text{m/s}, \qquad v_{2}(0)=8-2\cdot0=8\\ \text{m/s}.
Para t=7:
v_{1}(7)=2\cdot7-6=14-6=8\\ \text{m/s}, \qquad v_{2}(7)=8-2\cdot7=8-14=-6\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) As velocidades são iguais em t=3,5~s.
(b) Nos instantes de mesma posição ( t=0~s e t=7~s):
t=0:\quad v_{1}=-6\\ \text{m/s},\;v_{2}=8\\ \text{m/s}; \qquad t=7:\quad v_{1}=8\\ \text{m/s},\;v_{2}=-6\\ \text{m/s}.

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