1. Duas pequenas esferas carregadas, que possuem mesma massa, estão localizadas na mesma vertical com alturas \mathrm{h}_{1} e \mathrm{h}_{2} e são lançadas horizontalmente com mesma velocidade v. A primeira bola toca o chão a uma distância l da vertical inicial. Determine a altura \mathrm{H}_{2} que a segunda bola estará no instante em que a primeira toca o solo. Despreze qualquer efeito de resistência do ar. A gravidade local vale \mathbf{g}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Duas pequenas esferas lançadas horizontalmente com a mesma velocidade \,v\,.
    • Estão na mesma vertical, com alturas iniciais \,h_1 e \,h_2 (medidas a partir do solo).
    • A primeira esfera (a que parte de \,h_1) toca o chão a uma distância horizontal \,l da vertical inicial.
    • A gravidade vale \,g.
  • O que se pede:
    • Determinar a altura \,H_2 em que a segunda esfera (a que parte de \,h_2) estará no instante em que a primeira toca o solo.

Passo 2

Conceitos básicos (bem mastigados): em lançamento horizontal, os movimentos horizontal e vertical são independentes.
  • Horizontalmente: a velocidade horizontal é constante (não há aceleração horizontal se desprezamos o ar). A posição horizontal x evolui como:
x = v\,t,
onde t é o tempo desde o lançamento e v é a velocidade horizontal inicial (mesma para ambas).
  • Verticalmente: a velocidade inicial na direção vertical é zero (lançamento horizontal). A posição vertical (\text{altura}) decai sob a aceleração constante -g. A distância caída em tempo t é
\Delta y = \tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Estas duas fórmulas são essenciais e vêm das equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 3

Encontre o tempo \,t_1 que a primeira esfera demora até tocar o chão usando o movimento horizontal.
  • Como a primeira toca o chão a uma distância \,l, pela relação horizontal vale
l = v\,t_1.
Assim
t_1 = \frac{l}{v}.

Passo 4

Use o movimento vertical da primeira esfera para relacionar \,h_1 e \,t_1.
  • A primeira esfera cai a distância \,h_1 em tempo \,t_1, então
h_1 = \tfrac{1}{2}\,g\,t_1^{2}.
Substituindo \,t_1=\dfrac{l}{v} obtemos também a expressão equivalente
h_1 = \tfrac{1}{2}\,g\left(\frac{l}{v}\right)^{2} = \frac{g\,l^{2}}{2\,v^{2}}.
(Isto mostra como \,h_1, \,l e \,v estão conectados.)

Passo 5

Determine a altura \,H_2 da segunda esfera no mesmo instante t_1.
  • Em tempo t_1 a segunda esfera terá caído uma distância
\Delta y_2 = \tfrac{1}{2}\,g\,t_1^{2}.
  • Sua altura naquele instante é a altura inicial menos o quanto caiu:
H_2 = h_2 - \tfrac{1}{2}\,g\,t_1^{2}.
  • Usando a igualdade \tfrac{1}{2}\,g\,t_1^{2}=h_1 (obtida no Passo 4) chega-se à forma muito simples
H_2 = h_2 - h_1.
  • Alternativamente, substituindo t_1=\dfrac{l}{v} obtemos a forma explícita em termos de l e v:
H_2 = h_2 - \frac{g\,l^{2}}{2\,v^{2}}.
Observação física rápida (útil na prova): se H_2<0 isso significa que a segunda esfera já teria atingido o solo antes do instante em que a primeira bate — nesse caso, no instante considerado a segunda já estaria no chão (altura zero). Se H_2=0 as duas batem no chão simultaneamente.

Resposta

H_2 = h_2 - h_1
H_2 = h_2 - \frac{g\,l^{2}}{2\,v^{2}}

Exercícios relacionados