- Duas pequenas esferas carregadas, que possuem mesma massa, estão localizadas na mesma vertical com alturas
e
e são lançadas horizontalmente com mesma velocidade v. A primeira bola toca o chão a uma distância l da vertical inicial. Determine a altura
que a segunda bola estará no instante em que a primeira toca o solo. Despreze qualquer efeito de resistência do ar. A gravidade local vale
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Duas pequenas esferas lançadas horizontalmente com a mesma velocidade
. - Estão na mesma vertical, com alturas iniciais
e (medidas a partir do solo). - A primeira esfera (a que parte de
) toca o chão a uma distância horizontal da vertical inicial. - A gravidade vale
.
- Duas pequenas esferas lançadas horizontalmente com a mesma velocidade
- O que se pede:
- Determinar a altura
em que a segunda esfera (a que parte de ) estará no instante em que a primeira toca o solo.
- Determinar a altura
Passo 2
Conceitos básicos (bem mastigados): em lançamento horizontal, os movimentos horizontal e vertical são independentes.
- Horizontalmente: a velocidade horizontal é constante (não há aceleração horizontal se desprezamos o ar). A posição horizontal
evolui como:
onde
é o tempo desde o lançamento e
é a velocidade horizontal inicial (mesma para ambas).
- Verticalmente: a velocidade inicial na direção vertical é zero (lançamento horizontal). A posição vertical
decai sob a aceleração constante . A distância caída em tempo é
Estas duas fórmulas são essenciais e vêm das equações do movimento uniformemente acelerado.
Passo 3
Encontre o tempo
que a primeira esfera demora até tocar o chão usando o movimento horizontal.
- Como a primeira toca o chão a uma distância
, pela relação horizontal vale
Assim
Passo 4
Use o movimento vertical da primeira esfera para relacionar
e
.
- A primeira esfera cai a distância
em tempo , então
Substituindo
obtemos também a expressão equivalente
(Isto mostra como
,
e
estão conectados.)
Passo 5
Determine a altura
da segunda esfera no mesmo instante
.
- Em tempo
a segunda esfera terá caído uma distância
- Sua altura naquele instante é a altura inicial menos o quanto caiu:
- Usando a igualdade
(obtida no Passo 4) chega-se à forma muito simples
- Alternativamente, substituindo
obtemos a forma explícita em termos de e :
Observação física rápida (útil na prova): se
isso significa que a segunda esfera já teria atingido o solo antes do instante em que a primeira bate — nesse caso, no instante considerado a segunda já estaria no chão (altura zero). Se
as duas batem no chão simultaneamente.