6- Duas placas condutoras paralelas acham-se separadas pela distância d e mantidas a uma diferença de potencial \Delta \varphi. Uma chapa de dielétrico, de constante dielétrica K e de espessura uniforme \mathrm{t}<\mathrm{d}, é inserida entre as chapas. Determine os vetares campo \mathbf{E} e \mathbf{D} no dielétrico e também no vácuo entre o dielétrico e uma placa. Despreze os efeitos das extremidades em virtude das dimensões finitas das placas.
Passo 1
O enunciado dá duas placas condutoras paralelas separadas por uma distância d e mantidas com uma diferença de potencial \Delta \varphi. Entre as placas foi inserida uma chapa plana de dielétrico de constante dielétrica K e espessura uniforme t, com t<d. Desprezamos efeitos de borda (placas grandes, campo praticamente uniforme entre elas).
Perguntas que precisamos responder: determinar os vetores \mathbf{E} e \mathbf{D} dentro do dielétrico e também no vácuo (na região entre o dielétrico e a outra placa).
Para trabalhar com notação: tomo o eixo z perpendicular às placas. Coloco a placa inferior em z=0 e a placa superior em z=d. Suponha que a chapa dielétrica ocupa 0<z<t e que o vazio ocupa t<z<d. Seja \hat{\mathbf{n}} o versor apontando do potencial mais alto para o potencial mais baixo (ou seja, na direção do campo elétrico). Nas próximas etapas vou achar as magnitudes e depois escrever os vetores com direção \hat{\mathbf{n}}.
Passo 2
Usamos a Lei de Gauss para campos elétricos na forma material: \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}. Para placas condutoras paralelas com simetria lateral e sem cargas livres dentro das regiões entre placas, a componente normal de \mathbf{D} é constante em cada região e, em particular, a componente normal atravessando uma superfície gaussiana plana envolvendo uma das placas dá que o fluxo de \mathbf{D} é igual à carga livre da placa. Conclusão prática e importante: a componente normal de \mathbf{D} é a mesma em toda a região entre as placas (não há cargas livres na interface dielétrico/vácuo), e igual à densidade superficial de carga livre \sigma das placas. Ou seja, o vetor \mathbf{D} é uniforme e normal às placas:
\mathbf{D} = D\,\hat{\mathbf{n}},
onde D (escalares) é o mesmo tanto no dielétrico quanto no vácuo (mesma componente normal).
Explicação curta do porquê (intuitiva): pegue um cilindro gaussiano atravessando as camadas; o fluxo de \mathbf{D} pelo cilindro só vem da placa (carga livre), e como não há outras cargas livres entre as camadas, o fluxo — logo D — é constante.
Passo 3
Relacionamos \mathbf{D} e \mathbf{E} com as relações constitutivas:
no vácuo: \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E};
no dielétrico (isotrópico, linear): \mathbf{D}=\varepsilon_0 K \mathbf{E}.
Essas fórmulas significam: \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; K é a constante dielétrica (adimensional). Em cada região, \mathbf{E} é paralelo a \mathbf{D} e tem magnitude obtida dividindo D por \varepsilon_0 (vácuo) ou por \varepsilon_0 K (dielétrico):
Observação útil e intuitiva: E_{\text{diel}}=E_{\text{vac}}/K, ou seja, o campo no dielétrico é reduzido em um fator K em relação ao vácuo (para a mesma \mathbf{D}).
Direção dos vetores: ambos os campos são perpendiculares às placas e apontam da placa com maior potencial para a placa com menor potencial. Assim os vetores podem ser escritos multiplicando a magnitude pelo versor \hat{\mathbf{n}} (versor apontando do potencial mais alto para o mais baixo).
Passo 7
Escrevo finalmente os vetores completos (com direção) e a expressão para \mathbf{D}.
Vetor \mathbf{D} (mesmo nas duas regiões, norma dada em Passo 5):