6- Duas placas condutoras paralelas acham-se separadas pela distância d e mantidas a uma diferença de potencial \Delta \varphi. Uma chapa de dielétrico, de constante dielétrica K e de espessura uniforme \mathrm{t}<\mathrm{d}, é inserida entre as chapas. Determine os vetares campo \mathbf{E} e \mathbf{D} no dielétrico e também no vácuo entre o dielétrico e uma placa. Despreze os efeitos das extremidades em virtude das dimensões finitas das placas.

Passo 1

O enunciado dá duas placas condutoras paralelas separadas por uma distância d e mantidas com uma diferença de potencial \Delta \varphi. Entre as placas foi inserida uma chapa plana de dielétrico de constante dielétrica K e espessura uniforme t, com t<d. Desprezamos efeitos de borda (placas grandes, campo praticamente uniforme entre elas).
Perguntas que precisamos responder: determinar os vetores \mathbf{E} e \mathbf{D} dentro do dielétrico e também no vácuo (na região entre o dielétrico e a outra placa).
Para trabalhar com notação: tomo o eixo z perpendicular às placas. Coloco a placa inferior em z=0 e a placa superior em z=d. Suponha que a chapa dielétrica ocupa 0<z<t e que o vazio ocupa t<z<d. Seja \hat{\mathbf{n}} o versor apontando do potencial mais alto para o potencial mais baixo (ou seja, na direção do campo elétrico). Nas próximas etapas vou achar as magnitudes e depois escrever os vetores com direção \hat{\mathbf{n}}.

Passo 2

Usamos a Lei de Gauss para campos elétricos na forma material: \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}. Para placas condutoras paralelas com simetria lateral e sem cargas livres dentro das regiões entre placas, a componente normal de \mathbf{D} é constante em cada região e, em particular, a componente normal atravessando uma superfície gaussiana plana envolvendo uma das placas dá que o fluxo de \mathbf{D} é igual à carga livre da placa. Conclusão prática e importante: a componente normal de \mathbf{D} é a mesma em toda a região entre as placas (não há cargas livres na interface dielétrico/vácuo), e igual à densidade superficial de carga livre \sigma das placas. Ou seja, o vetor \mathbf{D} é uniforme e normal às placas:
\mathbf{D} = D\,\hat{\mathbf{n}},
onde D (escalares) é o mesmo tanto no dielétrico quanto no vácuo (mesma componente normal).
Explicação curta do porquê (intuitiva): pegue um cilindro gaussiano atravessando as camadas; o fluxo de \mathbf{D} pelo cilindro só vem da placa (carga livre), e como não há outras cargas livres entre as camadas, o fluxo — logo D — é constante.

Passo 3

Relacionamos \mathbf{D} e \mathbf{E} com as relações constitutivas:
  • no vácuo: \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E};
  • no dielétrico (isotrópico, linear): \mathbf{D}=\varepsilon_0 K \mathbf{E}.
Essas fórmulas significam: \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; K é a constante dielétrica (adimensional). Em cada região, \mathbf{E} é paralelo a \mathbf{D} e tem magnitude obtida dividindo D por \varepsilon_0 (vácuo) ou por \varepsilon_0 K (dielétrico):
E_{\text{vac}}=\frac{D}{\varepsilon_0},\qquad E_{\text{diel}}=\frac{D}{\varepsilon_0 K}.

Passo 4

Ligamos os campos à diferença de potencial. A diferença de potencial entre as placas é a integral do campo elétrico ao longo da distância d:
\Delta\varphi = \left|\int_{0}^{d}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}\right|.
Como \mathbf{E} é perpendicular às placas e uniforme em cada camada, a magnitude da queda de potencial é soma das quedas nas duas camadas:
\Delta\varphi = E_{\text{diel}}\;t \;+\; E_{\text{vac}}\;(d-t).
Aqui usei magnitudes (valores positivos) e a interpretação física simples: a queda total é a soma das quedas em cada segmento.

Passo 5

Substituo E_{\text{vac}}=D/\varepsilon_0 e E_{\text{diel}}=D/(\varepsilon_0 K) na expressão da diferença de potencial:
\Delta\varphi = \frac{D}{\varepsilon_0 K}\,t \;+\; \frac{D}{\varepsilon_0}\,(d-t).
Coloco em evidência D/\varepsilon_0:
\Delta\varphi = \frac{D}{\varepsilon_0}\Big((d-t)+\frac{t}{K}\Big).
Desse modo isolamos D:
D = \varepsilon_0\,\frac{\Delta\varphi}{(d-t)+\dfrac{t}{K}}.
Essa é a magnitude de \mathbf{D} (a mesma em ambas as regiões). Podemos também multiplicar numerador e denominador por K para obter forma alternativa:
D = \varepsilon_0\,\frac{K\,\Delta\varphi}{K(d-t)+t}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais simples de interpretar.

Passo 6

Agora obtemos os campos \mathbf{E} nas duas regiões usando as relações constitutivas.
Magnitude do campo no vácuo:
E_{\text{vac}}=\frac{D}{\varepsilon_0}=\frac{\Delta\varphi}{(d-t)+\dfrac{t}{K}}.
Magnitude do campo no dielétrico:
E_{\text{diel}}=\frac{D}{\varepsilon_0 K}=\frac{\Delta\varphi}{K(d-t)+t}.
Observação útil e intuitiva: E_{\text{diel}}=E_{\text{vac}}/K, ou seja, o campo no dielétrico é reduzido em um fator K em relação ao vácuo (para a mesma \mathbf{D}).
Direção dos vetores: ambos os campos são perpendiculares às placas e apontam da placa com maior potencial para a placa com menor potencial. Assim os vetores podem ser escritos multiplicando a magnitude pelo versor \hat{\mathbf{n}} (versor apontando do potencial mais alto para o mais baixo).

Passo 7

Escrevo finalmente os vetores completos (com direção) e a expressão para \mathbf{D}.
Vetor \mathbf{D} (mesmo nas duas regiões, norma dada em Passo 5):
\mathbf{D} = \varepsilon_0\,\frac{\Delta\varphi}{(d-t)+\dfrac{t}{K}}\;\hat{\mathbf{n}}.
Vetor \mathbf{E} no vácuo ( t<z<d):
\mathbf{E}_{\text{vac}} = \frac{\Delta\varphi}{(d-t)+\dfrac{t}{K}}\;\hat{\mathbf{n}}.
Vetor \mathbf{E} no dielétrico ( 0<z<t):
\mathbf{E}_{\text{diel}} = \frac{\Delta\varphi}{K(d-t)+t}\;\hat{\mathbf{n}}.
Se preferir escrever \mathbf{E}_{\text{diel}} em termos de \mathbf{E}_{\text{vac}}:
\mathbf{E}_{\text{diel}}=\frac{1}{K}\,\mathbf{E}_{\text{vac}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}=\varepsilon_0\,\frac{\Delta\varphi}{(d-t)+\dfrac{t}{K}}\;\hat{\mathbf{n}}\
\displaystyle \mathbf{E}_{\text{vac}}=\frac{\Delta\varphi}{(d-t)+\dfrac{t}{K}}\;\hat{\mathbf{n}}\
\displaystyle \mathbf{E}_{\text{diel}}=\frac{\Delta\varphi}{K(d-t)+t}\;\hat{\mathbf{n}}

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