QUESTÃO 3: Uma esfera oca feita de material bom condutor, com raio interno
e raio externo 11,0 cm , é concêntrica com outra esfera oco condutora, com raio interno
e raio externo
. A carga total da esfera menor é igual
e a carga total da esfera maior é igual
.
(
) Determine o módulo do campo elétrico a
do centro.
(
Passo 1
O que o problema pede: calcular o módulo do campo elétrico a
do centro das esferas.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como no enunciado):
Dados fornecidos (vou listar exatamente como no enunciado):
- Esfera condutora oca menor: raio interno
, raio externo , carga total . - Esfera condutora oca maior (concêntrica): raio interno
, raio externo , carga total . - Ponto onde queremos
: distância do centro .
Observações importantes retiradas do enunciado (apenas listando informações): as duas esferas são condutoras, o problema dá as cargas totais de cada uma (com a incógnita
), e o ponto pedido fica a
do centro, ou seja, fora das duas esferas (pois o raio externo maior é
).
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicado com calma): para sistemas esféricos condutores concêntricos, o campo elétrico em uma distância radial
do centro depende apenas da carga elétrica total contida dentro de uma superfície esférica de raio
. Isso vem da Lei de Gauss aplicada a simetria esférica. Em palavras: se estamos fora de todas as superfícies condutoras (ou seja,
maior que o maior raio externo), o campo é como se toda a carga total estivesse concentrada no centro — portanto usamos a fórmula do campo de uma carga pontual equivalente. Não precisamos saber como as cargas se distribuem entre superfícies internas/externas dentro dos condutores; basta o total dentro do raio considerado.
Passo 3
Determinar a carga total encerrada pela esfera de raio
. Como
é maior que os dois raios externos (
e
), a carga encerrada é a soma das cargas totais das duas esferas:
Passo 4
Converter a carga total para unidades do SI (Coulomb). Lembrete:
. Então
onde aqui
é entendido em
(como no enunciado).
Passo 5
Fórmula do campo elétrico fora de uma distribuição esférica (como se fosse carga pontual):
onde:
-
é o módulo do campo elétrico em , -
é a constante eletrostática, numericamente , -
é a carga total dentro da esfera de raio (em ), -
é a distância ao centro (em ).
Explicando: aplicamos a Lei de Gauss com uma superfície esférica de raio
. Como o campo é radial e constante na superfície, a integral da Lei de Gauss dá exatamente esta fórmula — é a mesma forma do campo de uma carga pontual.
Passo 6
Colocar valores numéricos, sempre convertendo unidades:
. Usando a expressão do passo anterior e o
do passo 4:
Agora calculamos passo a passo (mostrando as contas):
Multiplicando por
obtemos
Podemos também escrever isso multiplicando o fator:
ou seja
lembrando que aqui
é o número que vem em
no enunciado (ou seja, se quiser um número você substitui
em
na expressão).
Passo 7
Interpretação final e como usar na prova: o resultado é uma expressão linear em
, porque ambas as cargas dadas no enunciado continham o parâmetro
. Se durante a prova derem um valor numérico para
(por exemplo
), basta substituir na expressão que encontramos. Se não derem
, o enunciado espera a expressão em termos de
. Sempre verifique se o ponto onde pedem
está fora do maior raio externo; se estivesse dentro dos condutores ou entre cascas, o procedimento muda (teríamos que considerar apenas as cargas contidas até esse raio), mas aqui estamos fora de tudo, então somamos todas as cargas.