QUESTÃO 3: Uma esfera oca feita de material bom condutor, com raio interno 5,50 \mathrm{~cm} e raio externo 11,0 cm , é concêntrica com outra esfera oco condutora, com raio interno 16,5 \mathrm{~cm} e raio externo 22,0 \mathrm{~cm}. A carga total da esfera menor é igual \mathrm{a}+2,00 \mu \mathrm{C} e a carga total da esfera maior é igual \mathrm{a}+4,00 \mu \mathrm{C}.
( 1,0 \mathrm{p} ) Determine o módulo do campo elétrico a 25,0 \mathrm{~cm} do centro.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o módulo do campo elétrico a 25{,}0\\ \mathrm{cm} do centro das esferas.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como no enunciado):
  • Esfera condutora oca menor: raio interno 5{,}50\\ \mathrm{cm}, raio externo 11{,}0\\ \mathrm{cm}, carga total a+2{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
  • Esfera condutora oca maior (concêntrica): raio interno 16{,}5\\ \mathrm{cm}, raio externo 22{,}0\\ \mathrm{cm}, carga total a+4{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
  • Ponto onde queremos E: distância do centro r=25{,}0\\ \mathrm{cm}.
Observações importantes retiradas do enunciado (apenas listando informações): as duas esferas são condutoras, o problema dá as cargas totais de cada uma (com a incógnita a), e o ponto pedido fica a 25{,}0\\ \mathrm{cm} do centro, ou seja, fora das duas esferas (pois o raio externo maior é 22{,}0\\ \mathrm{cm}).

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicado com calma): para sistemas esféricos condutores concêntricos, o campo elétrico em uma distância radial r do centro depende apenas da carga elétrica total contida dentro de uma superfície esférica de raio r. Isso vem da Lei de Gauss aplicada a simetria esférica. Em palavras: se estamos fora de todas as superfícies condutoras (ou seja, r maior que o maior raio externo), o campo é como se toda a carga total estivesse concentrada no centro — portanto usamos a fórmula do campo de uma carga pontual equivalente. Não precisamos saber como as cargas se distribuem entre superfícies internas/externas dentro dos condutores; basta o total dentro do raio considerado.

Passo 3

Determinar a carga total encerrada pela esfera de raio r=25{,}0\\ \mathrm{cm}. Como 25{,}0\\ \mathrm{cm} é maior que os dois raios externos ( 11{,}0\\ \mathrm{cm} e 22{,}0\\ \mathrm{cm}), a carga encerrada é a soma das cargas totais das duas esferas:
Q_{\text{enc}}=(a+2{,}00\\ \mu\mathrm{C})+(a+4{,}00\\ \mu\mathrm{C})=2a+6{,}00\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Converter a carga total para unidades do SI (Coulomb). Lembrete: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}. Então
Q_{\text{enc}}=(2a+6{,}00)\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},
onde aqui a é entendido em \mu\mathrm{C} (como no enunciado).

Passo 5

Fórmula do campo elétrico fora de uma distribuição esférica (como se fosse carga pontual):
E=k\,\frac{Q_{\text{enc}}}{r^{2}},
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{N/C},
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática, numericamente k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
  • Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da esfera de raio r (em \mathrm{C}),
  • r é a distância ao centro (em \mathrm{m}).
Explicando: aplicamos a Lei de Gauss com uma superfície esférica de raio r. Como o campo é radial e constante na superfície, a integral da Lei de Gauss dá exatamente esta fórmula — é a mesma forma do campo de uma carga pontual.

Passo 6

Colocar valores numéricos, sempre convertendo unidades: r=25{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}250\\ \mathrm{m}. Usando a expressão do passo anterior e o Q_{\text{enc}} do passo 4:
E=8{,}99\times10^{9}\,\frac{(2a+6{,}00)\times10^{-6}}{(0{,}250)^{2}}.
Agora calculamos passo a passo (mostrando as contas):
(0{,}250)^{2}=0{,}0625.
\frac{8{,}99\times10^{9}}{0{,}0625}=8{,}99\times10^{9}\times 16=1{,}4384\times10^{11}.
Multiplicando por (2a+6{,}00)\times10^{-6} obtemos
E=1{,}4384\times10^{11}\times(2a+6{,}00)\times10^{-6}=1{,}4384\times10^{5}\,(2a+6{,}00)\\ \mathrm{N/C}.
Podemos também escrever isso multiplicando o fator:
E=1{,}4384\times10^{5}\cdot 2a + 1{,}4384\times10^{5}\cdot 6{,}00\\ \mathrm{N/C},
ou seja
E=2{,}8768\times10^{5}\,a + 8{,}6304\times10^{5}\\ \mathrm{N/C},
lembrando que aqui a é o número que vem em \mu\mathrm{C} no enunciado (ou seja, se quiser um número você substitui a em \mu\mathrm{C} na expressão).

Passo 7

Interpretação final e como usar na prova: o resultado é uma expressão linear em a, porque ambas as cargas dadas no enunciado continham o parâmetro a. Se durante a prova derem um valor numérico para a (por exemplo a=1{,}00), basta substituir na expressão que encontramos. Se não derem a, o enunciado espera a expressão em termos de a. Sempre verifique se o ponto onde pedem E está fora do maior raio externo; se estivesse dentro dos condutores ou entre cascas, o procedimento muda (teríamos que considerar apenas as cargas contidas até esse raio), mas aqui estamos fora de tudo, então somamos todas as cargas.

Resposta

E=1{,}4384\times10^{5}\,(2a+6{,}00)\\ \mathrm{N/C}

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