Duas placas estão separadas uma da outra por uma distância de 1 cm . As placas são planas e paralelas, com temperaturas de 300 K e 200 K e são consideradas corpos negros. Determine a taxa de TC por unidade de área entre as placas (ou seja, por 1 \mathrm{~m}^{2} ), em quatro situações particulares: (c) o espaço entre elas está preenchido com uma espuma rígida (polímero). Em todos os casos desconsidere convecção natural entre as placas. Dados: \mathrm{k}_{\text {isolante }}=2 \cdot 10^{-5} \mathrm{~W} / \mathrm{mK}; \mathrm{k}_{\mathrm{ar}}=0,022 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}; \mathrm{k}_{\text {espuma }}=0,026 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de troca de calor por unidade de área entre duas placas planas e paralelas a 1\\ \text{cm} de distância, com temperaturas de 300\\ \text{K} (placa quente) e 200\\ \text{K} (placa fria). As placas são corpos negros, não há convecção natural e o espaço entre elas está totalmente preenchido por uma espuma rígida com condutividade térmica \displaystyle k_{\text{espuma}}=0,026\\ \mathrm{W/mK}. Aqui vamos somar duas contribuições de transferência de calor em regime estacionário:
  1. Condução através da espuma (mecanismo condutivo).
  2. Radiação entre as faces das placas (ambas de emissividade \varepsilon=1).

Passo 2

Cálculo da taxa de transferência de calor por radiação entre as placas negras separadas por meio transparente (espuma considerada não participante em radiação). A fórmula geral é
\frac{\dot q_{\text{rad}}}{A} = \frac{\sigma\,(T_1^4 - T_2^4)}{\frac1{\varepsilon_1} + \frac1{\varepsilon_2} - 1}
Como \varepsilon_1=\varepsilon_2=1, o denominador vale 1. Logo,
\frac{\dot q_{\text{rad}}}{A} = \sigma\,\bigl(300^4 - 200^4\bigr).
Usando \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4} e
300^4 = 8{,}10\times10^9,\quad 200^4 = 1{,}60\times10^9,
300^4 - 200^4 = 6{,}50\times10^9,
temos
\frac{\dot q_{\text{rad}}}{A} = 5{,}67\times10^{-8}\times6{,}50\times10^9 \approx 3{,}69\times10^2\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Cálculo da taxa de transferência de calor por condução na espuma. A resistência térmica por unidade de área é \displaystyle L/k, com L=1\\ \text{cm}=0,01\\ \mathrm{m}. Logo,
\frac{\dot q_{\text{cond}}}{A} = k_{\text{espuma}}\;\frac{T_1 - T_2}{L} = 0{,}026\;\frac{300 - 200}{0{,}01} = 0{,}026\times\frac{100}{0{,}01} = 0{,}026\times10^4 = 260\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Como condução e radiação ocorrem simultaneamente e em paralelo, a taxa total por unidade de área é a soma das duas contribuições:
\frac{\dot q_{\text{total}}}{A} = \frac{\dot q_{\text{rad}}}{A} + \frac{\dot q_{\text{cond}}}{A} \approx 369\\ \mathrm{W/m^2} + 260\\ \mathrm{W/m^2} = 629\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\dot q}{A}\approx 629\\ \mathrm{W/m^2} (para a espuma rígida).

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