Duas polias de correias de fita (plana) são presas a um eixo apoiado por rolamentos em A e D. O raio da polia B é de 50 mm eo raio da polia C é de 40 mm . Sabendo que
e que o sistema gira em uma rotação constante, determine as reações em A e
em forma cartesiana (
). Suponha que o rolamento em A não exerce qualquer impulso axial e despreze os pesos das polias e do eixo.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos duas polias de correia fixa em um eixo, apoiadas por rolamentos nos pontos A e D. As polias B e C têm raios de 50 mm e 40 mm, respectivamente. Sabemos que a tensão na polia B é
e que o sistema gira com rotação constante, ou seja, sem aceleração angular. Precisamos encontrar as reações nos apoios A e D nas direções cartesianas (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como o sistema está em rotação constante, não há aceleração angular. Isso significa que a soma dos torques (momentos) em torno de qualquer ponto é zero. Também, a soma das forças nas direções horizontal e vertical deve ser zero, já que não há aceleração linear.
Passo 3
Vamos identificar as forças atuantes no sistema. Temos a tensão na polia B (
) causando um torque. Supondo que a direção da tensão em B está tangente à polia, o torque causado por
é:
Aqui,
.
Passo 4
Como o sistema está em equilíbrio rotacional, o torque total deve ser zero. Portanto, a tensão na polia C (
) deve equilibrar o torque da polia B:
Resolvendo para
:
Aqui,
.
Passo 5
Agora, vamos analisar as forças nas direções horizontal (
) e vertical (
).
- Na direção
: As tensões nas polias B e C têm componentes horizontais que serão equilibradas pelas reações no apoio A e D. - Na direção
: As reações verticais nos apoios A e D devem equilibrar as componentes verticais das tensões nas polias.
Passo 6
Assumindo que as tensões nas polias agem tangencialmente, temos:
-
Para a polia B:
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
- Componente horizontal:
-
Para a polia C:
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
- Componente horizontal:
Como as polias estão fixas e simétricas, podemos assumir que
(força horizontal).
Portanto:
Passo 7
Agora, aplicando o equilíbrio das forças:
- Na direção
:
Substituindo os valores:
- Na direção
:
Como não há forças verticais atuando além das reações.
Passo 8
Considerando que o rolamento em A não exerce qualquer impulso axial, significa que a reação no apoio A na direção horizontal é contrabalanceada pela reação no apoio D. Portanto, podemos distribuir as reações igualmente:
E como não há forças verticais:
Resposta
As reações nos apoios A e D são: