Duas polias de correias de fita (plana) são presas a um eixo apoiado por rolamentos em A e D. O raio da polia B é de 50 mm eo raio da polia C é de 40 mm . Sabendo que T B=100 N e que o sistema gira em uma rotação constante, determine as reações em A e D em forma cartesiana ( i, j k ). Suponha que o rolamento em A não exerce qualquer impulso axial e despreze os pesos das polias e do eixo.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos duas polias de correia fixa em um eixo, apoiadas por rolamentos nos pontos A e D. As polias B e C têm raios de 50 mm e 40 mm, respectivamente. Sabemos que a tensão na polia B é TB = 100, N e que o sistema gira com rotação constante, ou seja, sem aceleração angular. Precisamos encontrar as reações nos apoios A e D nas direções cartesianas ( i, j, k).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como o sistema está em rotação constante, não há aceleração angular. Isso significa que a soma dos torques (momentos) em torno de qualquer ponto é zero. Também, a soma das forças nas direções horizontal e vertical deve ser zero, já que não há aceleração linear.

Passo 3

Vamos identificar as forças atuantes no sistema. Temos a tensão na polia B ( TB = 100, N) causando um torque. Supondo que a direção da tensão em B está tangente à polia, o torque causado por TB é:
tauB = TB times rB = 100, N times 0,05, m = 5, Ncdotm
Aqui, rB = 50, mm = 0,05, m.

Passo 4

Como o sistema está em equilíbrio rotacional, o torque total deve ser zero. Portanto, a tensão na polia C ( TC) deve equilibrar o torque da polia B:
tauC = TC times rC = 5, Ncdotm
Resolvendo para TC:
TC = 5, Ncdotm0,04, m = 125, N
Aqui, rC = 40, mm = 0,04, m.

Passo 5

Agora, vamos analisar as forças nas direções horizontal ( i) e vertical ( j).
  • Na direção i: As tensões nas polias B e C têm componentes horizontais que serão equilibradas pelas reações no apoio A e D.
  • Na direção j: As reações verticais nos apoios A e D devem equilibrar as componentes verticais das tensões nas polias.

Passo 6

Assumindo que as tensões nas polias agem tangencialmente, temos:
  • Para a polia B:
    • Componente horizontal: TBx = TB cos(thetaB)
    • Componente vertical: TBy = TB sin(thetaB)
  • Para a polia C:
    • Componente horizontal: TCx = TC cos(thetaC)
    • Componente vertical: TCy = TC sin(thetaC)
Como as polias estão fixas e simétricas, podemos assumir que thetaB = thetaC = 0 (força horizontal).
Portanto:
TBx = TB = 100, N, TBy = 0
TCx = TC = 125, N, TCy = 0

Passo 7

Agora, aplicando o equilíbrio das forças:
  • Na direção i:
RAx + RDx - TBx - TCx = 0
Substituindo os valores:
RAx + RDx = 100, N + 125, N = 225, N
  • Na direção j:
RAy + RDy = 0
Como não há forças verticais atuando além das reações.

Passo 8

Considerando que o rolamento em A não exerce qualquer impulso axial, significa que a reação no apoio A na direção horizontal é contrabalanceada pela reação no apoio D. Portanto, podemos distribuir as reações igualmente:
RAx = 225, N2 = 112,5, N
RDx = 112,5, N
E como não há forças verticais:
RAy = 0, N, RDy = 0, N

Resposta

As reações nos apoios A e D são:
RA = 112,5, i, N
RD = 112,5, i, N

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