Duas salas de aula, chamadas de \mathbf{A} e \mathbf{B}, têm o mesmo volume e são ligadas por uma porta aberta. A temperatura da sala \mathbf{A} é mantida constante, é maior que a da sala \mathbf{B}, e a diferença entre elas é fixa e vale \Delta T. A sala \mathbf{A} possui massa m_{A} e a sala \mathbf{B}, m_{B}.
Deduza uma fórmula que mostre como as massas de ar (em equilíbrio mecânico, ou seja, pressões iguais) nas duas salas se relacionam com \Delta T e outras quantidades. (O número de mols n se relaciona com a massa molar M e a massa m da amostra por n=m / M.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para ficar tudo organizado (sem resolver ainda). Informações do enunciado:
  • Duas salas \mathbf{A} e \mathbf{B} têm o mesmo volume. Vou chamar esse volume comum de V.
  • As salas estão ligadas por uma porta aberta e alcançaram equilíbrio mecânico, isto é, as pressões são iguais: P_A = P_B.
  • A temperatura da sala \mathbf{A} é mantida constante e é maior que a da sala \mathbf{B}. A diferença fixa entre elas vale \Delta T. Vou chamar as temperaturas absolutas (em Kelvin) de T_A e T_B, com T_A = T_B + \Delta T.Observação importante: ao trabalhar com leis dos gases, temperatura deve ser em escala absoluta (Kelvin). A diferença \Delta T tem o mesmo valor em Kelvin e em graus Celsius, mas T_A e T_B devem ser tratados em Kelvin.
  • As massas de ar nas salas são m_A e m_B.
  • O número de mols relaciona-se com a massa molar por n = m/M. Vou permitir que as composições do ar nas salas possam ser diferentes (molaridades M_A e M_B), embora, em muitos casos práticos, M_A=M_B.
O que o enunciado pede:
  • Deduzir uma fórmula que mostre como m_A e m_B se relacionam com \Delta T e outras quantidades dadas (como M, V, etc.), assumindo equilíbrio mecânico (pressões iguais) e volumes iguais.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a lei dos gases ideais, que é a ferramenta natural aqui. A lei dos gases ideais diz:
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão absoluta do gás (em Pa),
  • V é o volume ocupado (em m^3),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases ( R \approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Também lembrar da relação entre massa e número de mols:
n = \frac{m}{M},
onde:
  • m é a massa da amostra (em kg ou g, contanto que as unidades sejam consistentes),
  • M é a massa molar (massa de 1 mol, em kg/mol ou g/mol).
Vou explicar rapidamente por que usamos isso: o gás em cada sala pode ser visto como um conjunto de n mols que ocupam volume V sob pressão P à temperatura T. Se conhecemos m e M obtemos n, e assim relacionamos massa, temperatura e pressão pelo mesmo PV=nRT.

Passo 3

Aplicar a lei dos gases ideais a cada sala separadamente. Para a sala \mathbf{A}:
P_A V = n_A R T_A.
Para a sala \mathbf{B}:
P_B V = n_B R T_B.
Definições usadas: n_A e n_B são os números de mols nas salas A e B; T_A e T_B são as temperaturas absolutas.

Passo 4

Substituir n=\dfrac{m}{M} em cada uma das equações para expressar em termos de massas e massas molares:
P_A V = \frac{m_A}{M_A} R T_A, \qquad P_B V = \frac{m_B}{M_B} R T_B.
Aqui M_A e M_B são as massas molares do ar em A e B (podem ser iguais se o ar tiver a mesma composição).

Passo 5

Usar a condição de equilíbrio mecânico e volume igual: P_A = P_B e o volume comum V cancelará. Igualando as duas expressões anteriores:
\frac{m_A}{M_A} R T_A = \frac{m_B}{M_B} R T_B.
Agora o R cancela dos dois lados (mesma constante universal) e podemos simplificar.

Passo 6

Simplificar e isolar a relação entre m_A e m_B. Após cancelar R obtemos:
\frac{m_A}{M_A} T_A = \frac{m_B}{M_B} T_B.
Rearranjando para a razão das massas:
\frac{m_A}{m_B} = \frac{M_A}{M_B}\,\frac{T_B}{T_A}.

Passo 7

Ligar T_A e T_B com \Delta T. Lembrando que T_A = T_B + \Delta T, podemos escrever a fórmula final explicita em termos de T_B e \Delta T:
\frac{m_A}{m_B} = \frac{M_A}{M_B}\,\frac{T_B}{T_B + \Delta T}.
Essa é a relação pedida: ela mostra como as massas de ar nas duas salas se relacionam com a diferença de temperatura \Delta T, as massas molares e a temperatura absoluta de B.

Passo 8

Interprete e veja o caso mais comum (mesma composição do ar). Se a composição do ar em A e B for a mesma, então M_A = M_B = M e a expressão simplifica para
\frac{m_A}{m_B} = \frac{T_B}{T_B + \Delta T}.
Isto significa, intuitivamente: com volumes iguais e pressões iguais, o ar mais quente (sala A) tem menos massa (menos moles) do que o ar mais frio (sala B), porque cada mol ocupa mais energia térmica (mais espaço efetivo por mol à mesma pressão). Note que tudo depende de temperaturas absolutas; se T_B for por exemplo 293\\ \mathrm{K} e \Delta T = 10\\ \mathrm{K}, então m_A/m_B = 293/303\approx 0{,}967.

Passo 9

Observações finais e cuidados práticos:
  • As fórmulas usam temperaturas em Kelvin. Se o enunciado der temperaturas em graus Celsius, converter antes: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Se as salas tiverem composições de ar praticamente iguais (caso usual), usar a forma simplificada com M_A=M_B.
  • Se quiser a massa absoluta em cada sala, pode combinar a razão acima com a massa total conhecida ou com outras condições de contorno.

Resposta

\frac{m_A}{m_B}=\frac{M_A}{M_B}\,\frac{T_B}{T_B+\Delta T}
\text{(caso }M_A=M_B\text{)}\quad \frac{m_A}{m_B}=\frac{T_B}{T_B+\Delta T}

Exercícios relacionados