Duas salas de aula, chamadas de
e
, têm o mesmo volume e são ligadas por uma porta aberta. A temperatura da sala
é mantida constante, é maior que a da sala
, e a diferença entre elas é fixa e vale
. A sala
possui massa
e a sala
.
Deduza uma fórmula que mostre como as massas de ar (em equilíbrio mecânico, ou seja, pressões iguais) nas duas salas se relacionam com
e outras quantidades. (O número de mols
se relaciona com a massa molar
e a massa
da amostra por
.)
Deduza uma fórmula que mostre como as massas de ar (em equilíbrio mecânico, ou seja, pressões iguais) nas duas salas se relacionam com
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para ficar tudo organizado (sem resolver ainda). Informações do enunciado:
- Duas salas
e têm o mesmo volume. Vou chamar esse volume comum de . - As salas estão ligadas por uma porta aberta e alcançaram equilíbrio mecânico, isto é, as pressões são iguais:
. - A temperatura da sala
é mantida constante e é maior que a da sala . A diferença fixa entre elas vale . Vou chamar as temperaturas absolutas (em Kelvin) de e , com Observação importante: ao trabalhar com leis dos gases, temperatura deve ser em escala absoluta (Kelvin). A diferença tem o mesmo valor em Kelvin e em graus Celsius, mas e devem ser tratados em Kelvin. - As massas de ar nas salas são
e . - O número de mols relaciona-se com a massa molar por
. Vou permitir que as composições do ar nas salas possam ser diferentes (molaridades e ), embora, em muitos casos práticos, .
O que o enunciado pede:
- Deduzir uma fórmula que mostre como
e se relacionam com e outras quantidades dadas (como , , etc.), assumindo equilíbrio mecânico (pressões iguais) e volumes iguais.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar a lei dos gases ideais, que é a ferramenta natural aqui. A lei dos gases ideais diz:
onde:
-
é a pressão absoluta do gás (em Pa), -
é o volume ocupado (em m^3), -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta em Kelvin.
Também lembrar da relação entre massa e número de mols:
onde:
-
é a massa da amostra (em kg ou g, contanto que as unidades sejam consistentes), -
é a massa molar (massa de 1 mol, em kg/mol ou g/mol).
Vou explicar rapidamente por que usamos isso: o gás em cada sala pode ser visto como um conjunto de
mols que ocupam volume
sob pressão
à temperatura
. Se conhecemos
e
obtemos
, e assim relacionamos massa, temperatura e pressão pelo mesmo
.
Passo 3
Aplicar a lei dos gases ideais a cada sala separadamente. Para a sala
:
Para a sala
:
Definições usadas:
e
são os números de mols nas salas
e
;
e
são as temperaturas absolutas.
Passo 4
Substituir
em cada uma das equações para expressar em termos de massas e massas molares:
Aqui
e
são as massas molares do ar em
e
(podem ser iguais se o ar tiver a mesma composição).
Passo 5
Usar a condição de equilíbrio mecânico e volume igual:
e o volume comum
cancelará. Igualando as duas expressões anteriores:
Agora o
cancela dos dois lados (mesma constante universal) e podemos simplificar.
Passo 6
Simplificar e isolar a relação entre
e
. Após cancelar
obtemos:
Rearranjando para a razão das massas:
Passo 7
Ligar
e
com
. Lembrando que
, podemos escrever a fórmula final explicita em termos de
e
:
Essa é a relação pedida: ela mostra como as massas de ar nas duas salas se relacionam com a diferença de temperatura
, as massas molares e a temperatura absoluta de
.
Passo 8
Interprete e veja o caso mais comum (mesma composição do ar). Se a composição do ar em
e
for a mesma, então
e a expressão simplifica para
Isto significa, intuitivamente: com volumes iguais e pressões iguais, o ar mais quente (sala
) tem menos massa (menos moles) do que o ar mais frio (sala
), porque cada mol ocupa mais energia térmica (mais espaço efetivo por mol à mesma pressão). Note que tudo depende de temperaturas absolutas; se
for por exemplo
e
, então
.
Passo 9
Observações finais e cuidados práticos:
- As fórmulas usam temperaturas em Kelvin. Se o enunciado der temperaturas em graus Celsius, converter antes:
. - Se as salas tiverem composições de ar praticamente iguais (caso usual), usar a forma simplificada com
. - Se quiser a massa absoluta em cada sala, pode combinar a razão acima com a massa total conhecida ou com outras condições de contorno.