Questão 3

\mathbf{t}(\mathbf{s}) \quad 55.35 \pm 0.01 \quad 55.71 \pm 0.01 \quad 55.92 \pm 0.01 \quad 55.07 \pm 0.01 \quad 55.52 \pm 0.01
A tabela acima fornece \mathrm{N}=5 medidas do tempo de passagem de um corpo entre dois sensores. Calcule a média, o desvio-padrão, o desvio-padrão da média e a incerteza total de t. Anote seus resultados abaixo.
Nos itens a-d não se preocupe com arredondamentos nem algarismos significativos e digite os valores tal qual saem da sua calculadora pelo menos até a casa do milésimo.
(a) Média de t: R: □ s
(b) Desvio-padrão de t: R: □ s
(c) Desvio-padrão da média de t: R: □ s
(d) Incerteza total de t : \mathbf{R} : □ s
(e) Se o valor médio de t e/ou sua incerteza \Delta t serão usados em outras contas, então você deve usar os valores não arredondados nos cálculos e deixar para arredondar apenas ao final das contas. Nesta questão, no entanto, queremos apenas o valor de t e sua incerteza. Realize os arredondamentos necessários e anote abaixo o valor de t e sua incerteza total como manda o figurino.
R: t=(\square \pm \square) s

Passo 1

O enunciado nos dá N=5 medidas do tempo de passagem t, cada uma com incerteza indicada \pm 0{,}01\\ \mathrm{s}. As medidas (peguei esses números da tabela do enunciado) são:
t_1 = 55{,}35\\ \mathrm{s},\quad t_2 = 55{,}71\\ \mathrm{s},\quad t_3 = 55{,}92\\ \mathrm{s},\quad t_4 = 55{,}07\\ \mathrm{s},\quad t_5 = 55{,}52\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
(a) a média de t;
(b) o desvio-padrão de t (amostral, ou seja a estimativa da dispersão dos dados);
(c) o desvio-padrão da média de t (erro padrão da média);
(d) a incerteza total de t combinando a contribuição estatística (c) com a incerteza instrumental indicada \pm 0{,}01\\ \mathrm{s};
(e) finalmente apresentar t com sua incerteza arredondados “como manda o figurino”.

Passo 2

Calcular a média aritmética. Fórmula e significado:
\bar{t}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} t_i,
onde \bar{t} é a média e t_i são as medidas individuais.
Somando as medidas:
\sum_{i=1}^{5} t_i = 55{,}35 + 55{,}71 + 55{,}92 + 55{,}07 + 55{,}52 = 277{,}57\\ \mathrm{s}.
Logo a média é
\bar{t}=\frac{277{,}57}{5}=55{,}514\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Fórmula e interpretação:
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(t_i-\bar{t}\bigr)^2},
onde s estima a dispersão das medidas ao redor da média. Usa-se N-1 (correção de Bessel) para obter uma estimativa não viciada da variância populacional.
Vamos calcular as diferenças e quadrados (mostrando cada termo):
\begin{aligned} t_1-\bar{t} &= 55{,}35-55{,}514=-0{,}164,\quad (t_1-\bar{t})^2=0{,}026896,\\\ t_2-\bar{t} &= 55{,}71-55{,}514=0{,}196,\quad (t_2-\bar{t})^2=0{,}038416,\\\ t_3-\bar{t} &= 55{,}92-55{,}514=0{,}406,\quad (t_3-\bar{t})^2=0{,}164836,\\\ t_4-\bar{t} &= 55{,}07-55{,}514=-0{,}444,\quad (t_4-\bar{t})^2=0{,}197136,\\\ t_5-\bar{t} &= 55{,}52-55{,}514=0{,}006,\quad (t_5-\bar{t})^2=0{,}000036. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^5 (t_i-\bar{t})^2 = 0{,}427320.
Então a variância amostral é
s^2=\frac{0{,}427320}{5-1}=\frac{0{,}427320}{4}=0{,}106830,
e o desvio-padrão é
s=\sqrt{0{,}106830}\approx 0{,}326871\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão da média (erro padrão). Fórmula:
s_{\bar{t}}=\frac{s}{\sqrt{N}},
onde s_{\bar{t}} é a incerteza estatística da média (quanto a média oscila se repetirmos o experimento).
Com s\approx 0{,}326871 e N=5:
s_{\bar{t}}=\frac{0{,}326871}{\sqrt{5}}\approx\frac{0{,}326871}{2{,}2360679}\approx 0{,}146238\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a incerteza total de t. Explicação do método: existem duas contribuições de incerteza relevantes aqui:
  • uma contribuição estatística (tipo A) dada por s_{\bar{t}};
  • uma contribuição instrumental indicada na tabela como \pm 0{,}01\\ \mathrm{s} (tipo B).
Assumindo que essas fontes são independentes, combinam-se em quadratura:
u_{\text{total}}=\sqrt{ s_{\bar{t}}^{\,2} + u_{\text{instr}}^{\,2} },
onde u_{\text{instr}}=0{,}01\\ \mathrm{s} é a incerteza indicada por cada medição (tomada aqui como contribuição não-correlata à média).
Substituindo:
u_{\text{total}}=\sqrt{(0{,}146238)^2 + (0{,}01)^2}\approx\sqrt{0{,}021385 + 0{,}000100}\approx\sqrt{0{,}021485}\approx 0{,}146557\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Arredondamento final “como manda o figurino” para apresentar t\pm\Delta t.
Regra usada: arredondar a incerteza para uma ou duas cifras significativas; quando o primeiro dígito é 1 costuma-se manter duas cifras significativas. Aqui u_{\text{total}}\approx 0{,}1466\\ \mathrm{s} tem primeiro dígito 1, portanto usamos duas cifras significativas: \Delta t \approx 0{,}15\\ \mathrm{s}.
Arredondar a média para a mesma casa decimal da incerteza (centésimos): \bar{t}=55{,}514\\ \mathrm{s} fica \bar{t}\approx 55{,}51\\ \mathrm{s}.
Portanto a apresentação final é
t=(55{,}51\pm 0{,}15)\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \bar{t}=55{,}514\\ \mathrm{s}
(b) s=0{,}326871\\ \mathrm{s}
(c) s_{\bar{t}}=0{,}146238\\ \mathrm{s}
(d) u_{\text{total}}=0{,}146557\\ \mathrm{s}
t=(55{,}51\pm 0{,}15)\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados