Duas siderúrgicas competem na produção de chapas de aço. Custos marginais: c_{1}<c_{2}.
(a) Determine as melhores respostas.
(b) Mostre que q_{1}^{*}>q_{2}^{*}.

Passo 1

O enunciado dá duas siderúrgicas que competem em quantidades (Cournot) com custos marginais constantes c_{1} e c_{2} tais que c_{1}<c_{2}. As perguntas são:
(a) determinar as melhores respostas de cada firma;
(b) mostrar que no equilíbrio de Cournot a firme 1 produz mais que a firme 2, isto é, q_{1}^{*}>q_{2}^{*}.
Como o enunciado não especificou função de demanda, vou trabalhar com a forma padrão linear para ficar geral o suficiente: assumir a função inversa da demanda
P(Q)=a-bQ,
com Q=q_{1}+q_{2}, a>c_{2} (para que as quantidades de equilíbrio sejam positivas) e b>0. Os custos totais são lineares com custos marginais constantes:
C_{i}=c_{i}q_{i},\qquad i=1,2.
Essas hipóteses são as usadas comumente em problemas de Cournot e permitem obter as funções de melhor resposta analiticamente.

Passo 2

Escrever o lucro de cada firma e preparar a otimização. O lucro da firma i é receita menos custo:
\pi_{i}=(P(Q)-c_{i})q_{i}=(a-b(q_{1}+q_{2})-c_{i})\,q_{i}.
Explicando: P(Q) é o preço de mercado quando a produção total é Q; a firma i vende q_{i} unidades ao preço P(Q), então a receita é P(Q)q_{i}. Subtrai-se o custo c_{i}q_{i}.
Para encontrar a melhor resposta da firma i frente à quantidade do rival q_{j} (com j\neq i) maximizamos \pi_{i} em relação a q_{i} tratando q_{j} como dado.

Passo 3

Calcular a condição de primeira ordem (FOC) para \pi_{i}. Vou fazer para a firma 1; o procedimento é idêntico para a firma 2 trocando índices.
Escrevendo \pi_{1}:
\pi_{1}=(a-b(q_{1}+q_{2})-c_{1})q_{1}.
Derivando em relação a q_{1} (produto de duas funções; aqui é simples expandir ou usar regra do produto), obtemos a FOC:
\frac{\partial \pi_{1}}{\partial q_{1}}=a-b(q_{1}+q_{2})-c_{1} + q_{1}(-b)=a-bq_{1}-bq_{2}-c_{1}-bq_{1}.
Agrupando termos em q_{1}:
\frac{\partial \pi_{1}}{\partial q_{1}}=a-c_{1}-bq_{2}-2bq_{1}.
Igualando a zero para maximização:
a-c_{1}-bq_{2}-2bq_{1}=0.
Isolando q_{1}:
2bq_{1}=a-c_{1}-bq_{2}\quad\Rightarrow\quad q_{1}=\frac{a-c_{1}}{2b}-\frac{1}{2}q_{2}.
Verificação da segunda ordem: \frac{\partial^{2}\pi_{1}}{\partial q_{1}^{2}}=-2b<0 porque b>0, logo é máximo local (boa notícia: é máximo global devido à concavidade).

Passo 4

Repetir o mesmo para a firma 2. Pelo mesmo raciocínio:
\frac{\partial \pi_{2}}{\partial q_{2}}=a-c_{2}-bq_{1}-2bq_{2}=0,
portanto
q_{2}=\frac{a-c_{2}}{2b}-\frac{1}{2}q_{1}.
Essas duas expressões são as funções de melhor resposta (reaktion functions). Interpretando: cada melhor resposta é linear em q_{j} com inclinação -\tfrac{1}{2}; o termo independente \tfrac{a-c_{i}}{2b} é maior quanto menor for o custo marginal c_{i}.

Passo 5

Agora resolver o sistema de melhor respostas simultaneamente para obter o equilíbrio (opcional para completar (b)). Escrevemos o sistema:
\begin{cases} q_{1}=\dfrac{a-c_{1}}{2b}-\dfrac{1}{2}q_{2},\\[6pt] q_{2}=\dfrac{a-c_{2}}{2b}-\dfrac{1}{2}q_{1}. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 1 e combinando convenientemente para eliminar q_{2}:
2q_{1}+q_{2}= \frac{a-c_{1}}{b},\qquad \frac{1}{2}q_{1}+q_{2}=\frac{a-c_{2}}{2b}.
Subtraindo a segunda da primeira (ou resolvendo o sistema linear por eliminação) dá
\frac{3}{2}q_{1}=\frac{2(a-c_{1})-(a-c_{2})}{2b}=\frac{a-2c_{1}+c_{2}}{2b}.
Portanto
q_{1}^{*}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a-2c_{1}+c_{2}}{2b}=\frac{a-2c_{1}+c_{2}}{3b}.
De modo análogo (ou trocando índices) obtemos
q_{2}^{*}=\frac{a-2c_{2}+c_{1}}{3b}.
Observação importante: para que essas quantidades sejam positivas exigimos a>c_{2} (ou condições mais precisas dependendo dos custos); caso contrário surge solução de canto (uma firma produz zero). Aqui estamos no caso interior com a suficientemente grande.]

Passo 6

Comparar q_{1}^{*} e q_{2}^{*}. Calcule a diferença:
q_{1}^{*}-q_{2}^{*}=\frac{a-2c_{1}+c_{2}}{3b}-\frac{a-2c_{2}+c_{1}}{3b}=\frac{-2c_{1}+c_{2}+2c_{2}-c_{1}}{3b}=\frac{3(c_{2}-c_{1})}{3b}=\frac{c_{2}-c_{1}}{b}.
Como c_{1}<c_{2} e b>0, concluímos que
q_{1}^{*}-q_{2}^{*}=\frac{c_{2}-c_{1}}{b}>0,
logo
q_{1}^{*}>q_{2}^{*}.
Intuição: a firma com custo marginal mais baixo reage produzindo mais tanto na reação quanto no equilíbrio.

Resposta

(a) \displaystyle BR_{1}(q_{2})=\frac{a-c_{1}}{2b}-\frac{1}{2}q_{2},\qquad BR_{2}(q_{1})=\frac{a-c_{2}}{2b}-\frac{1}{2}q_{1}.
(b) \displaystyle q_{1}^{*}=\frac{a-2c_{1}+c_{2}}{3b},\qquad q_{2}^{*}=\frac{a-2c_{2}+c_{1}}{3b}, e portanto \displaystyle q_{1}^{*}-q_{2}^{*}=\frac{c_{2}-c_{1}}{b}>0, logo \displaystyle q_{1}^{*}>q_{2}^{*}.

Exercícios relacionados