Duas siderúrgicas competem na produção de chapas de aço. Custos marginais: c_{1}<c_{2}.
(a) Determine as melhores respostas.
(b) Mostre que q_{1}^{*}>q_{2}^{*}.
Passo 1
O enunciado dá duas siderúrgicas que competem em quantidades (Cournot) com custos marginais constantes c_{1} e c_{2} tais que c_{1}<c_{2}. As perguntas são:
(a) determinar as melhores respostas de cada firma;
(b) mostrar que no equilíbrio de Cournot a firme 1 produz mais que a firme 2, isto é, q_{1}^{*}>q_{2}^{*}.
Como o enunciado não especificou função de demanda, vou trabalhar com a forma padrão linear para ficar geral o suficiente: assumir a função inversa da demanda
P(Q)=a-bQ,
com Q=q_{1}+q_{2}, a>c_{2} (para que as quantidades de equilíbrio sejam positivas) e b>0. Os custos totais são lineares com custos marginais constantes:
C_{i}=c_{i}q_{i},\qquad i=1,2.
Essas hipóteses são as usadas comumente em problemas de Cournot e permitem obter as funções de melhor resposta analiticamente.
Passo 2
Escrever o lucro de cada firma e preparar a otimização. O lucro da firma i é receita menos custo:
Explicando: P(Q) é o preço de mercado quando a produção total é Q; a firma i vende q_{i} unidades ao preço P(Q), então a receita é P(Q)q_{i}. Subtrai-se o custo c_{i}q_{i}.
Para encontrar a melhor resposta da firma i frente à quantidade do rival q_{j} (com j\neq i) maximizamos \pi_{i} em relação a q_{i} tratando q_{j} como dado.
Passo 3
Calcular a condição de primeira ordem (FOC) para \pi_{i}. Vou fazer para a firma 1; o procedimento é idêntico para a firma 2 trocando índices.
Escrevendo \pi_{1}:
\pi_{1}=(a-b(q_{1}+q_{2})-c_{1})q_{1}.
Derivando em relação a q_{1} (produto de duas funções; aqui é simples expandir ou usar regra do produto), obtemos a FOC:
Verificação da segunda ordem: \frac{\partial^{2}\pi_{1}}{\partial q_{1}^{2}}=-2b<0 porque b>0, logo é máximo local (boa notícia: é máximo global devido à concavidade).
Passo 4
Repetir o mesmo para a firma 2. Pelo mesmo raciocínio:
Essas duas expressões são as funções de melhor resposta (reaktion functions). Interpretando: cada melhor resposta é linear em q_{j} com inclinação -\tfrac{1}{2}; o termo independente \tfrac{a-c_{i}}{2b} é maior quanto menor for o custo marginal c_{i}.
Passo 5
Agora resolver o sistema de melhor respostas simultaneamente para obter o equilíbrio (opcional para completar (b)). Escrevemos o sistema:
Observação importante: para que essas quantidades sejam positivas exigimos a>c_{2} (ou condições mais precisas dependendo dos custos); caso contrário surge solução de canto (uma firma produz zero). Aqui estamos no caso interior com a suficientemente grande.]
Passo 6
Comparar q_{1}^{*} e q_{2}^{*}. Calcule a diferença: