Duas empresas químicas atuam em um mercado com demanda P(Q)=A-B Q, ambas com C M g=c. Uma terceira firma avalia entrar.
(a) Encontre o equilíbrio com três firmas.
(b) Compare com o caso de duas firmas.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Dado de mercado:
    • Função inversa da demanda: P(Q)=A-BQ, com A>c e B>0.
  • Custos das firmas já atuantes:
    • Duas firmas incumbentes com custo marginal constante C M g = c (ou seja, custo médio marginal igual a c).
  • Situação a estudar:
    • Uma terceira firma avalia entrar no mercado.
Perguntas:
(a) Encontre o equilíbrio com três firmas operando simultaneamente (modelo de concorrência por quantidade — Cournot).
(b) Compare esse equilíbrio com o caso em que há apenas duas firmas (o que muda em quantidades totais, preços e lucros das firmas).
Informações úteis que já tenho e usarei: cada firma escolhe uma quantidade q_i; a quantidade total é Q=\sum_i q_i; o preço de mercado é P(Q)=A-BQ; o lucro de uma firma i é receita menos custo, com custo marginal constante c.

Passo 2

Escolha do método e definição das variáveis (explicando bem o raciocínio):
  • Método: aqui o modelo apropriado é o modelo de Cournot (firms choose quantities simultaneously). Isso é porque o enunciado fala de firmas que produzem uma quantidade e o preço depende da quantidade total; não há menção a liderança ou preços, então Cournot é a escolha natural.
  • Variáveis:
    • q_i: quantidade produzida pela firma i.
    • Q: quantidade total do mercado, Q=\sum_i q_i.
    • P(Q): preço de venda, dado por P(Q)=A-BQ.
    • c: custo marginal (constante) de cada firma.
  • Lucro da firma i:
    • Receita da firma i = preço \times quantidade = P(Q)\,q_i.
    • Custo da firma i = c\,q_i (pois C M g = c constante).
    • Portanto o lucro é \pi_i = P(Q)\,q_i - c\,q_i = \bigl(A-BQ\bigr)q_i - c\,q_i.
      Explicação curta sobre a ideia: cada firma escolhe q_i maximizando \pi_i tomando as quantidades das outras firmas como dadas; a condição de primeira ordem dá a melhor resposta, e o equilíbrio de Cournot é uma combinação de quantidades onde todas as firmas estão em suas melhores respostas simultaneamente. Vou derivar a melhor resposta e o equilíbrio simétrico (todas as firmas idênticas produzem a mesma quantidade).

Passo 3

Derivação da melhor resposta de uma firma genérica (passo a passo e didático):
  • Escrevo o lucro de uma firma i explicitamente em termos de q_i e da soma das demais quantidades Q_{-i}=\sum_{j\ne i} q_j: \pi_i = \bigl(A - B(q_i + Q_{-i})\bigr)q_i - c\,q_i.Aqui Q = q_i + Q_{-i}. Cada termo explicado:
    • A - B(q_i + Q_{-i}) é o preço quando a quantidade total é q_i+Q_{-i}.
    • Multiplicando por q_i obtemos a receita da firma i.
    • Subtraímos c q_i porque o custo marginal é constante c, então o custo total é c q_i.
  • Para maximizar \pi_i em relação a q_i, tomo a derivada parcial e igualo a zero (condição de primeira ordem). Derivo: \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = A - B(q_i + Q_{-i}) - B q_i - c.Explicando cada termo da derivada: a derivada de (A - B(q_i+Q_{-i}))q_i pelo produto dá A - B(q_i + Q_{-i}) (derivando q_i) mais q_i vezes a derivada de A - B(q_i + Q_{-i}) que é -B; esses dois termos juntos produzem os termos acima, que se simplificam a A - 2B q_i - B Q_{-i}.
    Portanto podemos reescrever a condição de primeira ordem como: 0 = \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = A - 2B q_i - B Q_{-i} - c.
  • Isolando q_i obtemos a melhor resposta da firma i: q_i = \frac{A - c - B Q_{-i}}{2B}.Interpretação: quanto maior for a produção agregada dos concorrentes ( Q_{-i}), menor será a melhor produção ótima de i. Se A aumenta (demanda mais alta) ou c diminui (custos menores), q_i aumenta.

Passo 4

Equilíbrio simétrico com três firmas (resolver o caso pedido em (a)):
  • No equilíbrio simétrico, todas as firmas produzem a mesma quantidade: q_1=q_2=q_3=q. Então para uma firma genérica Q_{-i}=(n-1)q com n=3, isto é Q_{-i}=2q.
  • Substituo na melhor resposta: q = \frac{A - c - B\cdot 2q}{2B}.Agora resolvo essa equação para q. Multiplico ambos os lados por 2B: 2B q = A - c - 2B q.Reagrupando os termos com q: 4B q = A - c.Assim q = \frac{A - c}{4B}.Explicação: cada firma produz uma fração da margem A-c inversamente proporcional a B e ao fator 4 que vem do equilíbrio entre reação estratégica das firmas.
  • Quantidade total de mercado com três firmas: Q = 3q = 3\cdot\frac{A - c}{4B} = \frac{3(A - c)}{4B}.
  • Preço de equilíbrio substituindo em P(Q)=A-BQ: P = A - BQ = A - B\cdot\frac{3(A - c)}{4B} = A - \frac{3(A - c)}{4} = \frac{A + 3c}{4}.(aqui fiz a simplificação passo a passo: A - \tfrac{3}{4}A + \tfrac{3}{4}c = \tfrac{1}{4}A + \tfrac{3}{4}c = \tfrac{A+3c}{4}.)
  • Lucro por firma no equilíbrio: \pi = (P - c) q. Primeiro calcule P-c: P - c = \frac{A + 3c}{4} - c = \frac{A - c}{4}.Então \pi = \left(\frac{A - c}{4}\right)\left(\frac{A - c}{4B}\right) = \frac{(A - c)^2}{16B}.Resumo do equilíbrio com três firmas (valores finais):
    • Quantidade por firma: \displaystyle q=\frac{A - c}{4B}.
    • Quantidade total: \displaystyle Q=\frac{3(A - c)}{4B}.
    • Preço: \displaystyle P=\frac{A + 3c}{4}.
    • Lucro por firma: \displaystyle \pi=\frac{(A - c)^2}{16B}.

Passo 5

Resultado geral para n firmas (fórmula útil) e caso com duas firmas (resolvendo (b) com comparação):
  • É didaticamente útil obter a solução simétrica para n firmas idênticas. Repetindo o raciocínio geral (na melhor resposta substituímos Q_{-i}=(n-1)q) chega-se a: q = \frac{A - c}{B(n+1)}.Explicando: ao resolver a equação geral 2B q + B(n-1)q = A - c obtemos B(n+1) q = A - c.
  • Portanto, quantidade total: Q = n q = \frac{n(A - c)}{B(n+1)}.
  • Preço: P = A - BQ = A - \frac{n(A - c)}{n+1} = \frac{A + n c}{n+1}.
  • Lucro por firma: \pi = (P - c) q = \left(\frac{A + n c}{n+1} - c\right)\frac{A - c}{B(n+1)} = \frac{(A - c)^2}{B(n+1)^2}.(Veja que \displaystyle P-c=\frac{A - c}{n+1}, portanto \pi=(A-c)/(n+1)\cdot (A-c)/[B(n+1)].)
  • Agora aplicado a n=2 (caso com duas firmas incumbentes):
    • Quantidade por firma: q_{(n=2)} = \frac{A - c}{3B}.
    • Quantidade total: Q_{(n=2)} = \frac{2(A - c)}{3B}.
    • Preço: P_{(n=2)} = \frac{A + 2c}{3}.
    • Lucro por firma: \pi_{(n=2)} = \frac{(A - c)^2}{9B}.

Passo 6

Comparações entre os casos n=2 e n=3 (interpretação e desigualdades, passo a passo):
  • Quantidade por firma: q_{(n=3)}=\frac{A - c}{4B},\qquad q_{(n=2)}=\frac{A - c}{3B}.Como \frac{1}{4}<\frac{1}{3}, cada firma produz menos quando há 3 firmas do que quando há 2 firmas: q_{(n=3)} < q_{(n=2)}.Intuição: entrada aumenta concorrência, cada firma reduz sua produção individual.
  • Quantidade total: Q_{(n=3)}=\frac{3(A - c)}{4B} = 0{,}75\cdot\frac{A - c}{B}, \qquad Q_{(n=2)}=\frac{2(A - c)}{3B} \approx 0{,}6667\cdot\frac{A - c}{B}.Como 0{,}75>0{,}6667, a quantidade total aumenta com a entrada: Q_{(n=3)} > Q_{(n=2)}.Intuição: mais produtores levam a maior produção total e maior oferta no mercado.
  • Preço: P_{(n=3)}=\frac{A + 3c}{4},\qquad P_{(n=2)}=\frac{A + 2c}{3}.Comparando: P_{(n=3)}-P_{(n=2)}=\frac{A+3c}{4}-\frac{A+2c}{3}=\frac{c-A}{12}.Para o caso econômico normal A>c (demanda intercepta acima do custo), isso diferença é negativa, logo P_{(n=3)} < P_{(n=2)}.Intuição: mais competição faz o preço cair.
  • Lucro por firma: \pi_{(n=3)}=\frac{(A - c)^2}{16B},\qquad \pi_{(n=2)}=\frac{(A - c)^2}{9B}.Como \frac{1}{16}<\frac{1}{9}, cada firma ganha menos lucro quando há 3 firmas: \pi_{(n=3)} < \pi_{(n=2)}.Razão: maior concorrência reduz margem e quantidade individual, caindo o lucro.
  • Observação geral: conforme n cresce, a quantidade total se aproxima do nível competitivo (quando n\to\infty, Q\to (A-c)/B e P\to c); lucros por firma vão a zero. Com a entrada da terceira firma estamos justamente no caminho dessa tendência (preço cai, produção total sobe, lucro por firma cai).

Resposta

(a) Para três firmas em equilíbrio de Cournot:
q=\dfrac{A - c}{4B},\quad Q=\dfrac{3(A - c)}{4B},\quad P=\dfrac{A + 3c}{4},\quad \pi=\dfrac{(A - c)^2}{16B}.
(b) No caso de duas firmas:
q=\dfrac{A - c}{3B},\quad Q=\dfrac{2(A - c)}{3B},\quad P=\dfrac{A + 2c}{3},\quad \pi=\dfrac{(A - c)^2}{9B}.
Comparação: com a entrada da 3ª firma a quantidade total aumenta ( Q_{3}>Q_{2}), o preço cai ( P_{3}<P_{2}), cada firma produz menos ( q_{3}<q_{2}) e cada firma obtém menor lucro ( \pi_{3}<\pi_{2}).

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