Duas empresas químicas atuam em um mercado com demanda
, ambas com
. Uma terceira firma avalia entrar.
(a) Encontre o equilíbrio com três firmas.
(b) Compare com o caso de duas firmas.
(a) Encontre o equilíbrio com três firmas.
(b) Compare com o caso de duas firmas.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Dado de mercado:
- Função inversa da demanda:
, com e .
- Função inversa da demanda:
- Custos das firmas já atuantes:
- Duas firmas incumbentes com custo marginal constante
(ou seja, custo médio marginal igual a ).
- Duas firmas incumbentes com custo marginal constante
- Situação a estudar:
- Uma terceira firma avalia entrar no mercado.
Perguntas:
(a) Encontre o equilíbrio com três firmas operando simultaneamente (modelo de concorrência por quantidade — Cournot).
(b) Compare esse equilíbrio com o caso em que há apenas duas firmas (o que muda em quantidades totais, preços e lucros das firmas).
(a) Encontre o equilíbrio com três firmas operando simultaneamente (modelo de concorrência por quantidade — Cournot).
(b) Compare esse equilíbrio com o caso em que há apenas duas firmas (o que muda em quantidades totais, preços e lucros das firmas).
Informações úteis que já tenho e usarei: cada firma escolhe uma quantidade
; a quantidade total é
; o preço de mercado é
; o lucro de uma firma
é receita menos custo, com custo marginal constante
.
Passo 2
Escolha do método e definição das variáveis (explicando bem o raciocínio):
- Método: aqui o modelo apropriado é o modelo de Cournot (firms choose quantities simultaneously). Isso é porque o enunciado fala de firmas que produzem uma quantidade e o preço depende da quantidade total; não há menção a liderança ou preços, então Cournot é a escolha natural.
- Variáveis:
-
: quantidade produzida pela firma . -
: quantidade total do mercado, . -
: preço de venda, dado por . -
: custo marginal (constante) de cada firma.
-
- Lucro da firma
: - Receita da firma
= preço quantidade = . - Custo da firma
= (pois constante). - Portanto o lucro é
.
Explicação curta sobre a ideia: cada firma escolhemaximizando tomando as quantidades das outras firmas como dadas; a condição de primeira ordem dá a melhor resposta, e o equilíbrio de Cournot é uma combinação de quantidades onde todas as firmas estão em suas melhores respostas simultaneamente. Vou derivar a melhor resposta e o equilíbrio simétrico (todas as firmas idênticas produzem a mesma quantidade).
- Receita da firma
Passo 3
Derivação da melhor resposta de uma firma genérica (passo a passo e didático):
- Escrevo o lucro de uma firma
explicitamente em termos de e da soma das demais quantidades : Aqui . Cada termo explicado: -
é o preço quando a quantidade total é . - Multiplicando por
obtemos a receita da firma . - Subtraímos
porque o custo marginal é constante , então o custo total é .
-
- Para maximizar
em relação a , tomo a derivada parcial e igualo a zero (condição de primeira ordem). Derivo: Explicando cada termo da derivada: a derivada de pelo produto dá (derivando ) mais vezes a derivada de que é ; esses dois termos juntos produzem os termos acima, que se simplificam a .
Portanto podemos reescrever a condição de primeira ordem como: - Isolando
obtemos a melhor resposta da firma : Interpretação: quanto maior for a produção agregada dos concorrentes ( ), menor será a melhor produção ótima de . Se aumenta (demanda mais alta) ou diminui (custos menores), aumenta.
Passo 4
Equilíbrio simétrico com três firmas (resolver o caso pedido em (a)):
- No equilíbrio simétrico, todas as firmas produzem a mesma quantidade:
. Então para uma firma genérica com , isto é . - Substituo na melhor resposta:
Agora resolvo essa equação para . Multiplico ambos os lados por : Reagrupando os termos com : Assim Explicação: cada firma produz uma fração da margem inversamente proporcional a e ao fator que vem do equilíbrio entre reação estratégica das firmas. - Quantidade total de mercado com três firmas:
- Preço de equilíbrio substituindo em
: (aqui fiz a simplificação passo a passo: .) - Lucro por firma no equilíbrio:
. Primeiro calcule : Então Resumo do equilíbrio com três firmas (valores finais): - Quantidade por firma:
. - Quantidade total:
. - Preço:
. - Lucro por firma:
.
- Quantidade por firma:
Passo 5
Resultado geral para
firmas (fórmula útil) e caso com duas firmas (resolvendo (b) com comparação):
- É didaticamente útil obter a solução simétrica para
firmas idênticas. Repetindo o raciocínio geral (na melhor resposta substituímos ) chega-se a: Explicando: ao resolver a equação geral obtemos . - Portanto, quantidade total:
- Preço:
- Lucro por firma:
(Veja que , portanto .) - Agora aplicado a
(caso com duas firmas incumbentes): - Quantidade por firma:
- Quantidade total:
- Preço:
- Lucro por firma:
- Quantidade por firma:
Passo 6
Comparações entre os casos
e
(interpretação e desigualdades, passo a passo):
- Quantidade por firma:
Como , cada firma produz menos quando há 3 firmas do que quando há 2 firmas: Intuição: entrada aumenta concorrência, cada firma reduz sua produção individual. - Quantidade total:
Como , a quantidade total aumenta com a entrada: Intuição: mais produtores levam a maior produção total e maior oferta no mercado. - Preço:
Comparando: Para o caso econômico normal (demanda intercepta acima do custo), isso diferença é negativa, logo Intuição: mais competição faz o preço cair. - Lucro por firma:
Como , cada firma ganha menos lucro quando há 3 firmas: Razão: maior concorrência reduz margem e quantidade individual, caindo o lucro. - Observação geral: conforme
cresce, a quantidade total se aproxima do nível competitivo (quando , e ); lucros por firma vão a zero. Com a entrada da terceira firma estamos justamente no caminho dessa tendência (preço cai, produção total sobe, lucro por firma cai).
Resposta
(a) Para três firmas em equilíbrio de Cournot:
(b) No caso de duas firmas:
Comparação: com a entrada da 3ª firma a quantidade total aumenta ( ), o preço cai (
), cada firma produz menos (
) e cada firma obtém menor lucro (
).
Comparação: com a entrada da 3ª firma a quantidade total aumenta (