Duas superfícies condutoras cilíndricas de raios rho1=1 m e rho2=5 m são mantidas nos potenciais V1=-10 V e V2=30 V, respectivamente, determine o potencial em rho=3 m.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: temos duas superfícies condutoras cilíndricas, uma de raio m com potencial V, e outra de raio m com potencial V. Queremos achar o potencial em m. Esse é um problema clássico de eletrostática em coordenadas cilíndricas, onde resolvemos a equação de Laplace assumindo simetria azimutal e independente de . Vamos usar a forma geral da solução em função de .

Passo 2

Teoria: em coordenadas cilíndricas, se 1rho,ddrho!l(rho,dVdrhor)=0 só depende de rho,dVdrho = C1 ;;Longrightarrow;; dVdrho = C1rho , a equação de Laplace vira
V(rho) = C1lnrho + C2,
Integrando uma vez:
Integrando de novo dá a forma geral
onde e são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Aplicando as condições de contorno:
  1. Para C1ln5 - 10 = 30 ;;Longrightarrow;; C1ln5 = 40 ;;Longrightarrow;; C1 = 40ln5 m, V.
    Logo .
  2. Para m, V.
    Substituindo :

Passo 4

Agora a solução completa é
V(rho) = 40ln5,lnrho ;-;10
Basta avaliar em V(3) = 40ln5,ln3 ;-;10 m:
V(3) approx 40times1,0991,609 - 10 approx 27,3 - 10 approx 17,3 V
Se você quiser um valor aproximado, use e :

Resposta

O potencial em boxedV(3) = 40ln5,ln3 ;-;10approx 17,3 V m é

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