Duas variaiveis Dependentes Expresse vx em termos de u e y se as equações x = v ln(u) e y = u ln(v) definem u e v como funções das variáveis independentes x e y e se vx existe. (Sugestão: diferencie ambas as equaçōes em relação a x e resolva para vx eliminando u_x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas equações que relacionam as variáveis e com e :
Essas equações definem e como funções das variáveis independentes e . O objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , expressando-a em termos de e . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a . Como e são funções de e , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Diferenciando a primeira equação:
Isso resulta em:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar a segunda equação em relação a :
Como é uma variável independente, sua derivada em relação a é zero:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos resolver o sistema eliminando .

Passo 5

Primeiro, vamos isolar na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Fatorando na equação acima:
Agora, isolamos :

Resposta

A derivada parcial em termos de e é:

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