Duas variaiveis Dependentes Expresse
termos de
e
se as equações
definem
como funções das variáveis independentes
e
existe. (Sugestão: diferencie ambas as equaçōes em relação a
e resolva para
eliminando
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas equações que relacionam as variáveis
e
com
e
:
Essas equações definem
e
como funções das variáveis independentes
e
. O objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, expressando-a em termos de
e
. Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a
. Como
e
são funções de
e
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Diferenciando a primeira equação:
Isso resulta em:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar a segunda equação em relação a
:
Como
é uma variável independente, sua derivada em relação a
é zero:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, vamos resolver o sistema eliminando
.
Passo 5
Primeiro, vamos isolar
na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Fatorando
na equação acima:
Agora, isolamos
:
Resposta
A derivada parcial
em termos de
e
é: