Utilizando a definição de derivada parcial
Nos Exercicios 57-60, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funçôes nos pontos especificados.
57. f(x, y)=raiz2 x+3 y-1, partial fpartial x e partial fpartial y em(-2,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais e no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h em relação a é como se a gente estivesse variando apenas o e mantendo o constante. A fórmula para a derivada parcial em relação a é:
Vamos calcular isso no ponto .

Passo 3

Substituindo partial fpartial xg|(-2, 3) = limh to 0 raiz2(-2 + h) + 3(3) - 1 - raiz2(-2) + 3(3) - 1h e = limh to 0 raiz-4 + 2h + 9 - 1 - raiz-4 + 9 - 1h = limh to 0 raiz2h + 4 - 2h na fórmula, temos:
Simplificando dentro das raízes:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada = limh to 0 (raiz2h + 4 - 2)(raiz2h + 4 + 2)h(raiz2h + 4 + 2) = limh to 0 (2h + 4) - 4h(raiz2h + 4 + 2) = limh to 0 2hh(raiz2h + 4 + 2) :
= limh to 0 2raiz2h + 4 + 2
Cancelando o :

Passo 5

Agora, substituímos = 2raiz0 + 4 + 2 = 22 + 2 = 24 = 12 por 0:

Passo 6

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y = limk to 0 f(x, y + k) - f(x, y)k . A fórmula é semelhante:
partial fpartial yg|(-2, 3) = limk to 0 raiz2(-2) + 3(3 + k) - 1 - raiz2(-2) + 3(3) - 1k
Aplicando no ponto = limk to 0 raiz-4 + 9 + 3k - 1 - 2k = limk to 0 raiz3k + 4 - 2k :
Simplificando:

Passo 7

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada = limk to 0 (raiz3k + 4 - 2)(raiz3k + 4 + 2)k(raiz3k + 4 + 2) = limk to 0 3k + 4 - 4k(raiz3k + 4 + 2) = limk to 0 3kk(raiz3k + 4 + 2) :
= limk to 0 3raiz3k + 4 + 2
Cancelando o :

Passo 8

Substituindo = 3raiz0 + 4 + 2 = 32 + 2 = 34 por 0:

Resposta

Portanto, no ponto partial fpartial x = 12 e partial fpartial y = 34 :

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