A duração da gestação \left(t_{g}\right) também segue uma relação da forma t_{g} \propto m^{1 / 4}. A partir do tempo de gestação de uma gata ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}} \approx 4 \mathrm{~kg} e t_{g}=2,3 mês ), calcule a duração da gestação t_{g} (em meses) de:
de uma ratazana ( \mathrm{m}_{\mathrm{R}}=400 \mathrm{~g} );

Passo 1

O enunciado dá a relação de proporcionalidade entre duração da gestação e massa:
t_g \propto m^{1/4}
Dados fornecidos:
m_{\mathrm{G}} \approx 4\\ \mathrm{kg},\qquad t_{g,\mathrm{G}} = 2{,}3\\ \text{mês}ê
m_{\mathrm{R}} = 400\\ \mathrm{g}
O que se pede: calcular a duração da gestação t_{g,\mathrm{R}} (em meses) para a ratazana de massa m_{\mathrm{R}}.

Passo 2

Converter unidades para ficarmos consistentes (todas as massas em \mathrm{kg}):
m_{\mathrm{R}} = 400\\ \mathrm{g} = 0{,}4\\ \mathrm{kg}.
Transformar a proporcionalidade numa equação com constante de proporcionalidade k:
t_g = k\, m^{1/4},
onde k é uma constante que depende da unidade escolhida (aqui meses e kg). Explicação: escrever t_g \propto m^{1/4} significa exatamente que existe um número k tal que t_g é igual a k vezes a quarta raiz de m. A quarta raiz de um número x é \sqrt{\sqrt{x}} e também x^{1/4}.

Passo 3

Determinar a constante k usando os dados da gata. Substituímos m_{\mathrm{G}} e t_{g,\mathrm{G}} na fórmula:
k = \frac{t_{g,\mathrm{G}}}{m_{\mathrm{G}}^{1/4}}.
Calcular m_{\mathrm{G}}^{1/4}:
4^{1/4} = \sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142.
Logo
k \approx \frac{2{,}3}{1{,}4142} \approx 1{,}6276.
Breve comentário didático: aqui dividimos o tempo conhecido pela quarta raiz da massa conhecida para encontrar o fator que transforma massa^{1/4} em meses.

Passo 4

Calcular a quarta raiz da massa da ratazana:
m_{\mathrm{R}}^{1/4} = 0{,}4^{1/4} = \sqrt{\sqrt{0{,}4}}.
Primeiro \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63246. Em seguida
0{,}4^{1/4} \approx \sqrt{0{,}63246} \approx 0{,}79527.
Explicação: quebramos o cálculo em duas raízes quadradas porque é mais simples de fazer à mão/mentemente do que tentar a quarta raiz direta.

Passo 5

Agora calculamos t_{g,\mathrm{R}} = k\, m_{\mathrm{R}}^{1/4}:
t_{g,\mathrm{R}} \approx 1{,}6276 \times 0{,}79527 \approx 1{,}294.
Arredondando com duas casas decimais (modo comum em respostas de prova),
t_{g,\mathrm{R}} \approx 1{,}29\\ \text{mês}.ê
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas é só aplicar a proporcionalidade, achar a constante e reavaliar para a nova massa — método bem direto.

Resposta

1{,}29\\ \text{mês}ê

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